Développements limités

Un développement limité d'une fonction $f$ est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de $f$ par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :

1) Définition et remarques :

Soit $V$ un voisinage de $0$ (autrement dit un intervalle du type $]-\alpha,\alpha[$ avec $\alpha>0$).

Soit $f$ une fonction définie sur $D=V$ ou $D=V \backslash\{0\}$. 

Soit $n$ un entier naturel. 

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$ (en abrégé $DL_n(0)$) s'il existe une fonction polynomiale $x \mapsto a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ de degré inférieur ou égal à $n$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $D$ telles que

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\epsilon(x)=0$
• $\forall x \in D$, $f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n + \epsilon(x)x^n$

Remarques :

• La fonction $f$ n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.
• Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
• La quantité $\epsilon(x)x^n$ (qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond $f$ et son approximation polynomiale .
• L'erreur d'approximation $\epsilon(x)x^n$ est négligeable devant $x^n$ car $\displaystyle{\frac{\epsilon(x)x^n}{x^n}= \epsilon(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0}$ ce que l'on écrit par
      $\epsilon(x)x^n \stackrel{x \rightarrow 0}{=} o(x^n)$. Ainsi le $DL_n(0)$ de $f$ s'écrit également $f(x)\stackrel{x \rightarrow 0}{=}a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+o(x^n)$.

2) DL de référence 

À apprendre par cœur : les DL de $e^x$, $\cos(x)$, $\sin(x)$, $\ln(1-x)$ et $(1+x)^{\alpha}$.

$e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^ 3}{3 !}+\ldots+\frac{x^n}{n !}+o(x^n)$

$\ln(1-x)=-x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\ldots-\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

$\cos(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\ldots$

$\sin(x)=x-\displaystyle\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\ldots$

$(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^2+ \ldots \\\displaystyle +\frac{\alpha(\alpha- 1)\ldots(\alpha-n+1)}{n !}x^n+o(x^n)$

À savoir retrouver : 

• $\displaystyle\frac{1}{1+x}$ : on remplace $x$ par $-x$ dans $\displaystyle \frac{1}{1-x}$
• $\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ : on remplace $x$ par $x^2$ dans $\displaystyle \frac{1}{1+x}$
• $\sqrt{1+x}$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ etc ... Utiliser $(1+x)^{\alpha}$ avec le bon $\alpha$

3) Opérations sur les D.L

Avec les développements limités, on peut effectuer les quatre opérations arithmétiques : addition, soustraction et plus généralement combinaison linéaire, produit...

Lorsqu'on effectue des opérations sur les développements limités, il y a deux points importants à garder à l'esprit :

• On ne travaille qu'avec les parties polynomiales des développements limités. Ainsi, on n'a pas à gérer "les petits o".
• Les développements limités entrant en jeu lors des calculs doivent être en général tous au même ordre.

Après les calculs, on vérifie les deux points suivants :

• Le terme de degré $0$ du développement limité est la valeur de la fonction en $0$ (si elle est définie en $0$ sinon c'est sa limite en $0$).
• Si la fonction est paire (respectivement impaire) la partie polynomiale du développement limité ne doit comporter que des termes de degré pair (respectivement impair).

a) Combinaison linéaire : 

Exemple : $DL_5(0)$ de ${\rm ch}(x) = \displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

On sait que $\displaystyle{{\rm ch}(x) = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{-x}}$. 

Or $\displaystyle{e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + {\rm o}(x^5)}$ et $\displaystyle{e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^5}{5!} + {\rm o}(x^5)}$

Donc par somme et multiplication par $1/2$ :

$\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^5)}$.

Remarque : si on écrit $\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^5)}$ ou $\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^4)}$, l'approximation polynomiale est la même mais l'erreur d'approximation dans la première écriture est plus petite que dans la deuxième. 

b) Multiplication

Exemple : calculons le $DL_5(0)$ de $f:x \mapsto \ln(1+x)\cos(x)$.

On commence par écrire les $DL_5(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et de $\cos$.

On retrouve le $DL_5(0)$ du logarithme en partant de $\displaystyle{\frac{1}{1+x} = (\ln(1+x))' \stackrel{x \rightarrow 0}{=} 1 -x +x^2 -x^3 +x^4 +o(x^4)}$

(L'ordre $4$ est suffisant car par intégration on augmente l'ordre d'une unité). D'où $\displaystyle{\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)}$.

La partie polynomiale du $DL_5(0)$ de $\cos$ est identique à celle du $DL_4(0)$ puisque $\cos$ est paire : $\displaystyle{\cos(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5)}$.

Lors de la multiplication des deux développements limités, il est inutile de conserver les termes de degré supérieur ou égal à $6$ puisque seulement un développement limité à l'ordre $5$ nous intéresse ici. 

Par exemple, le terme $\displaystyle{\frac{x^3}{3} \times - \frac{x^2}{2!} = -\frac{x^6}{6}}$ peut s'écrire $x^5\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\epsilon(x) = -\frac{x}{6}}$ qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$. 

Ce terme est donc un $o(x^5)$. Tous les termes de degré supérieur ou égal à $6$ sont donc englobés dans $o(x^5)$ (y compris la multiplication des erreurs d'approximation entre elles $o(x^5) \times o(x^5) = x^5 \epsilon_1(x) \times x^5 \epsilon_2(x) = x^5\epsilon_3(x)$ avec $\epsilon_3(x) = x^5\epsilon_1(x)\epsilon_2(x))$.

Il est pratique de présenter les calculs dans un tableau qui ne comporte que les parties polynomiales tronquées (=coupées) au degré $5$. Appelons $\displaystyle{P(x)= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}}$ la partie polynomiale du développement limité de $\ln(1+x)$. 

Nous avons besoin de multiplier $P$ par $\displaystyle{-\frac{x^2}{2!}}$ et par $\displaystyle{\frac{x^4}{4!}}$.

La dernière ligne du tableau consiste à additionner les trois lignes précédentes pour obtenir le produit (tronqué au degré $5$) de $\displaystyle{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\right) \times P(x)}$. 

Il n'y a pas égalité entre les deux colonnes du tableau. Par exemple, $\displaystyle{\frac{x^4}{4!}P(x) \neq \frac{x^5}{4!}}$. Mais $\displaystyle{\frac{x^4}{4!}P(x)}$ tronqué à l'ordre $5$ est égal à $\displaystyle{\frac{x^5}{4!}}$.

Afin de faciliter le calcul des fractions (sans calculatrice !) il est conseillé de laisser dans le tableau les coefficients sous forme de factorielles ou de produits c'est-à-dire d'écrire $4!$ plutôt que $24$ et $2.3$ plutôt que $6$.

Pour calculer $\displaystyle{\alpha=\frac{1}{5}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{4!}}$, calculons d'abord $\displaystyle{-\frac{1}{2.3} + \frac{1}{4!}}$. Le plus petit dénominateur commun est $4!$ : $\displaystyle{-\frac{1}{2.3} + \frac{1}{4!} = \frac{-4+1}{4!} = -\frac{3}{4!} = -\frac{1}{2.4}}$.

On en déduit que $\displaystyle\alpha=\frac{1}{5} - \frac{1}{2.4}$. Le plus petit dénominateur commun est $2.4.5$ : $\displaystyle{\alpha = \frac{2.4-5}{2.4.5} = \frac{3}{40}}$ On a donc finalement : $\displaystyle{\ln(1+x)\cos(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{3}{40}x^5 + o(x^5)}$.

4) Développement limité en dehors de l'origine

Méthode : développer en dehors de zéro

Pour calculer le $DL_n(x_0)$ de $f$ :

• On effectue le changement de variable $h=x-x_0$. 
• On réécrit $f$ en fonction de la nouvelle variable $h$: $f(x) = f(x_0+h)$.
• On calcule le $DL_n(0)$ de $g:h \mapsto f(h+x_0)$.

5) Formule de Taylor-Young

Théorème. Soit $n \in {\Bbb N}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^n$ au voisinage de $x_0$. Alors $f$ admet un $DL_n(x_0)$ donné par la formule : 

$\displaystyle{f(x_0+h) \stackrel{h \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k + o(h^n) }$

$\displaystyle{\stackrel{h \rightarrow 0}{=} f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} h^n + o(h^n)}$ ou encore si on revient à la variable originelle $x=x_0+h$ :

$\displaystyle{f(x) \stackrel{x \rightarrow x_0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)}$

$\displaystyle{\stackrel{x \rightarrow x_0}{=} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)}$