Un développement limité d'une fonction f est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de f par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :

1) Définition et remarques :

Soit V un voisinage de 0 (autrement dit un intervalle du type ]α,α[ avec α>0).

Soit f une fonction définie sur D=V ou D=V{0}

Soit n un entier naturel. 

f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (en abrégé DLn(0)) s'il existe une fonction polynomiale xa0+a1x++anxn de degré inférieur ou égal à n et une fonction ϵ définie sur D telles que

  • lim
  • ,

Remarques :

  • La fonction n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.
  • Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
  • La quantité (qui tend vers lorsque tend vers ) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond et son approximation polynomiale .
  • L'erreur d'approximation est négligeable devant car ce que l'on écrit par
        . Ainsi le de s'écrit également .

2) DL de référence 

À apprendre par cœur : les DL de , , , et .

À savoir retrouver : 

  • : on remplace par dans
  • : on remplace par dans
  • , etc ... Utiliser avec le bon

3) Opérations sur les D.L

Avec les développements limités, on peut effectuer les quatre opérations arithmétiques : addition, soustraction et plus généralement combinaison linéaire, produit...

Lorsqu'on effectue des opérations sur les développements limités, il y a deux points importants à garder à l'esprit :

  • On ne travaille qu'avec les parties polynomiales des développements limités. Ainsi, on n'a pas à gérer "les petits o".
  • Les développements limités entrant en jeu lors des calculs doivent être en général tous au même ordre.


Après les calculs, on vérifie les deux points suivants :

  • Le terme de degré du développement limité est la valeur de la fonction en (si elle est définie en sinon c'est sa limite en ).
  • Si la fonction est paire (respectivement impaire) la partie polynomiale du développement limité ne doit comporter que des termes de degré pair (respectivement impair).

a) Combinaison linéaire : 

Exemple : de .

On sait que

Or  et

Donc par somme et multiplication par :

.

Remarque : si on écrit ou , l'approximation polynomiale est la même mais l'erreur d'approximation dans la première écriture est plus petite que dans la deuxième. 

b) Multiplication

Exemple : calculons le de .

On commence par écrire les de et de .

On retrouve le du logarithme en partant de

(L'ordre est suffisant car par intégration on augmente l'ordre d'une unité). D'où .

La partie polynomiale du de est identique à celle du puisque est paire : .

Lors de la multiplication des deux développements limités, il est inutile de conserver les termes de degré supérieur ou égal à puisque seulement un développement limité à l'ordre nous intéresse ici. 

Par exemple, le terme peut s'écrire avec qui tend vers lorsque tend vers

Ce terme est donc un . Tous les termes de degré supérieur ou égal à sont donc englobés dans (y compris la multiplication des erreurs d'approximation entre elles avec .

Il est pratique de présenter les calculs dans un tableau qui ne comporte que les parties polynomiales tronquées (=coupées) au degré . Appelons  la partie polynomiale du développement limité de

Nous avons besoin de multiplier par et par .

La dernière ligne du tableau consiste à additionner les trois lignes précédentes pour obtenir le produit (tronqué au degré ) de

Il n'y a pas égalité entre les deux colonnes du tableau. Par exemple, . Mais tronqué à l'ordre est égal à .

Afin de faciliter le calcul des fractions (sans calculatrice !) il est conseillé de laisser dans le tableau les coefficients sous forme de factorielles ou de produits c'est-à-dire d'écrire plutôt que et plutôt que .

Pour calculer , calculons d'abord . Le plus petit dénominateur commun est : .

On en déduit que . Le plus petit dénominateur commun est : On a donc finalement : .

4) Développement limité en dehors de l'origine

Méthode : développer en dehors de zéro

Pour calculer le de :

  • On effectue le changement de variable
  • On réécrit en fonction de la nouvelle variable : .
  • On calcule le de .

5) Formule de Taylor-Young

Théorème. Soit . Soit une fonction de classe au voisinage de . Alors admet un donné par la formule : 

 ou encore si on revient à la variable originelle :