Un développement limité d'une fonction f est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de f par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :
1) Définition et remarques :
Soit V un voisinage de 0 (autrement dit un intervalle du type ]−α,α[ avec α>0).
Soit f une fonction définie sur D=V ou D=V∖{0}.
Soit n un entier naturel.
f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (en abrégé DLn(0)) s'il existe une fonction polynomiale x↦a0+a1x+…+anxn de degré inférieur ou égal à n et une fonction ϵ définie sur D telles que
- lim
- ,
Remarques :
- La fonction n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.
- Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
- La quantité (qui tend vers lorsque tend vers ) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond et son approximation polynomiale .
- L'erreur d'approximation est négligeable devant car ce que l'on écrit par
. Ainsi le de s'écrit également .
2) DL de référence
À apprendre par cœur : les DL de , , , et .
À savoir retrouver :
- : on remplace par dans
- : on remplace par dans
- , etc ... Utiliser avec le bon
3) Opérations sur les D.L
Avec les développements limités, on peut effectuer les quatre opérations arithmétiques : addition, soustraction et plus généralement combinaison linéaire, produit...
Lorsqu'on effectue des opérations sur les développements limités, il y a deux points importants à garder à l'esprit :
- On ne travaille qu'avec les parties polynomiales des développements limités. Ainsi, on n'a pas à gérer "les petits o".
- Les développements limités entrant en jeu lors des calculs doivent être en général tous au même ordre.
Après les calculs, on vérifie les deux points suivants :
- Le terme de degré du développement limité est la valeur de la fonction en (si elle est définie en sinon c'est sa limite en ).
- Si la fonction est paire (respectivement impaire) la partie polynomiale du développement limité ne doit comporter que des termes de degré pair (respectivement impair).
a) Combinaison linéaire :
Exemple : de .
On sait que .
Or et
Donc par somme et multiplication par :
.
Remarque : si on écrit ou , l'approximation polynomiale est la même mais l'erreur d'approximation dans la première écriture est plus petite que dans la deuxième.
b) Multiplication
Exemple : calculons le de .
On commence par écrire les de et de .
On retrouve le du logarithme en partant de
(L'ordre est suffisant car par intégration on augmente l'ordre d'une unité). D'où .
La partie polynomiale du de est identique à celle du puisque est paire : .
Lors de la multiplication des deux développements limités, il est inutile de conserver les termes de degré supérieur ou égal à puisque seulement un développement limité à l'ordre nous intéresse ici.
Par exemple, le terme peut s'écrire avec qui tend vers lorsque tend vers .
Ce terme est donc un . Tous les termes de degré supérieur ou égal à sont donc englobés dans (y compris la multiplication des erreurs d'approximation entre elles avec .
Il est pratique de présenter les calculs dans un tableau qui ne comporte que les parties polynomiales tronquées (=coupées) au degré . Appelons la partie polynomiale du développement limité de .
Nous avons besoin de multiplier par et par .
La dernière ligne du tableau consiste à additionner les trois lignes précédentes pour obtenir le produit (tronqué au degré ) de .
Il n'y a pas égalité entre les deux colonnes du tableau. Par exemple, . Mais tronqué à l'ordre est égal à .
Afin de faciliter le calcul des fractions (sans calculatrice !) il est conseillé de laisser dans le tableau les coefficients sous forme de factorielles ou de produits c'est-à-dire d'écrire plutôt que et plutôt que .
Pour calculer , calculons d'abord . Le plus petit dénominateur commun est : .
On en déduit que . Le plus petit dénominateur commun est : On a donc finalement : .
4) Développement limité en dehors de l'origine
Méthode : développer en dehors de zéro
Pour calculer le de :
- On effectue le changement de variable .
- On réécrit en fonction de la nouvelle variable : .
- On calcule le de .
5) Formule de Taylor-Young
Théorème. Soit . Soit une fonction de classe au voisinage de . Alors admet un donné par la formule :
ou encore si on revient à la variable originelle :