Étude élémentaire des séries

1) Définition :

Définition : Une série $\displaystyle \sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(\mathrm S_n)_{n\in\mathbb N}$ avec $\mathrm S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ converge. 

On note $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.

Théorème : Si la série $\displaystyle \sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ tend vers 0.

Remarque : Si $(u_n)_n$ ne tend pas vers 0, on dit que la série $\displaystyle \sum u_n$ diverge grossièrement.

2) Utiliser le lien suite et série :

Théorème :
La suite $(u_\rm n)$ et la série $\displaystyle\sum (u_{\mathrm n+1}-u_\mathrm n)$ sont de même nature.

3) Opérations :

Théorème : Soient $\displaystyle \sum u_n$ et $\displaystyle \sum v_n$ deux séries convergentes et $\lambda \in \mathbb K$.
Alors $\displaystyle \sum \lambda u_n$ et $\displaystyle \sum u_n+v_n$ sont des séries convergentes.

4) Convergence absolue :

Définition : Soit $(u_n)$ une suite réelle ou complexe.
$\displaystyle \sum u_n$ converge absolument si $\displaystyle \sum \left|u_n\right|$ converge.

Théorème : Si $\displaystyle \sum u_n$ converge absolument, alors la série converge.

5) Séries de références :

Théorème (séries géométriques) :

Soit $q\in\mathbb C$.

1.    Si $|q|\geq 1$, alors $\displaystyle \sum q^n$ diverge grossièrement.
2.    Si $|q|<1$, alors $\displaystyle \sum q^n$ converge absolument et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$

Théorème (série exponentielle) :

Pour tout réel $x$, la série $\displaystyle\sum\frac{x^n}{n !}$ converge et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n !}=\mathrm e^x$