Équations et fonctions polynômes du second degré

Soit $f (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac$
Si $\Delta < 0$ l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution réelle.
Si $\Delta = 0$ l'équation $ax^2 + b x + c = 0$ a une solution double $\displaystyle x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Si $\Delta > 0$ l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Exemples :
$-2x^2 + 3x - 7 = 0$. $\Delta = 9 - 56 = - 47$. $\Delta < 0$ et $S = \emptyset$.
$\displaystyle \frac{1}{4} x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{16}{25} = 0$. $\displaystyle \Delta = \frac{16}{25} - 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{16}{25}= 0$.
$\displaystyle {x}_0 = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{4}}$ $\displaystyle = \frac{4}{5} \times \frac{2}{1}$ $\displaystyle = \frac{8}{5}$. $\displaystyle S = {\frac{8}{5}}$.
$-2x^2 + 3x + 5 = 0$. $\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4}= \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$. $\displaystyle S = \{-1 ; \frac{5}{2}\}$.

Remarque :
Si $\Delta > 0$ l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) admet 2 racines distinctes.
En notant $S = x_1 + x_2$ leur somme et $P = x_1 \times x_2$ leur produit, on a :
$\displaystyle S = -\frac{b}{a}$ et $\displaystyle P = \frac{c}{a}$.
Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.

Résoudre une inéquation du second degré revient à rechercher le signe d'un trinôme.
Soit $f (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4 ac$.

Premier cas : $\Delta < 0$
Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$. $f$ ne s'annule jamais.

Deuxième cas : $\Delta = 0$
Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$ différent de $\displaystyle -\frac{b}{2a}$.
$f$ s'annule en $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.

Troisième cas : $\Delta > 0$
$f(x)$ a deux racines réelles distinctes. $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. $x_1 < x_2$.

Pour $x \in\: ]-\infty ; x_1[ \:\cup\: ]x_2 ; +\infty[$, $f(x)$ est du signe de $a$ (à l'extérieur des racines).
Pour $x \in\:] x_1 ; x_2[$, $f(x)$ est du signe de $-a$ (entre les racines).
Pour $x = x_1$ et $x = x_2$, $f(x)$ s'annule.

Exemple : $-2x^2+ 3x + 1 \leq - 4 \Leftrightarrow -2x^2 + 3x + 5 \leq 0$.
On pose $f(x) = - 2x^2 + 3x + 5$ et on étudie son signe.
$\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$. $\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$.
$a = - 2$ donc pour tout $x \in\: ]-\infty ; -1[ \cup ]\frac{5}{2} ; +\infty[$, $f(x)$ est négatif.
Pour tout $\displaystyle x \in\:]-1 ; \frac{5}{2}[$, $f(x)$ est positif.
Pour $\displaystyle x = \frac{5}{2}$ ou $x = -1$, $f(x)$ s'annule.

D'après ce que l'on a fait précédemment $f(x)$ est négatif ou nul sur $\displaystyle ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.
Donc $\displaystyle S = ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.