Géométrie repérée

On se place dans un repère orthonormé.

Vecteurs colinéaires
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.
$\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x’~ ; y’)$ sont colinéaires si et seulement $xy’ - yx’ = 0$ (égalité des produits en croix).

Équation de droite avec un vecteur directeur
Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs directeurs.
Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$ et $c$ réels, $(a ~; b)\neq (0 ; 0)$) alors $\vec{u}(-b~ ; a)$ est un vecteur directeur de $(D)$.
Réciproquement, si $\vec{u}(-b ~; a)$ ($a$ et $b$ réels, $(a~ ; b) \neq(0 ; 0)$) est un vecteur directeur de $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.

Équation de droite avec un vecteur normal
Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs normaux.
Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$ et $c$ réels, $(a~ ; b) \neq (0 ; 0)$) alors $\vec{n} (a ~; b)$ est un vecteur normal à $(D)$.
Réciproquement, si $\vec{n}(a~ ; b)$ ($a$ et $b$ réels, $(a~; b ) \neq (0 ; 0)$) est un vecteur normal à $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.

Équation de cercle
$\bullet$ Soient $A$ et $B$ deux points distincts.
L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $\rm[AB]$.

$\bullet$ Soit un point $\Omega(x_0 ; y_0)$ et $R > 0$ un réel.
Le cercle de centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et de rayon $R > 0$ admet pour équation cartésienne l’équation ${(x - x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 = R^2$.
Réciproquement, une équation de la forme ${(x - x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 = R^2$ est une équation cartésienne du cercle de centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et de rayon $R > 0$.

Équation de parabole
Une parabole est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a\neq 0$, $b$ et $c$ trois réels).
Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ et  pour sommet le point $\displaystyle S\left(-\frac{b}{2a}~;~f(-\frac{b}{2a}) = \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)$.