La musique ou l’art de faire entendre les nombres

Les intervalles musicaux et les gammes

Définition des intervalles musicaux

En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport (division) de leurs fréquences fondamentales. Deux sons dont les fréquences sont dans le rapport $2/1$ correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes. L'intervalle qui les sépare s'appelle une octave.

Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.

Le $\rm Do3$ $\rm (260,74~Hz)$ est une octave au-dessus du $\rm Do2$ $\rm (130,37~Hz)$ car $\rm \displaystyle \frac{f(Do3)}{f(Do2)} = \frac{2}{1}$.

La quinte

Deux sons dont les fréquences sont dans le rapport $3/2$ forment une quinte.

Le $\rm Do3$ $\rm (260,74~Hz)$ et le $\rm Sol3$ $\rm (391,11~Hz)$ forment une quinte car $\rm \displaystyle\frac{f(Do3)}{f(Sol3)} = \frac{3}{2}$.

Construction des gammes dans l'Antiquité

Dans l'Antiquité, la construction des gammes était basée sur des rapports simples de fréquences $\rm (2/1~ ; 3/2~ ; 4/3~ ; ...)$ correspondant à des combinaisons de sons jugés consonants (agréables à l'oreille).

Les gammes de Pythagore

Les gammes de Pythagore sont basées sur le cycle des quintes. Pour des raisons mathématiques, ce cycle de quintes ne « reboucle » jamais sur la note de départ. Les cycles de $5$, $7$ ou $12$ quintes « rebouclent » presque. Il n'est cependant pas possible de retomber sur l'octave, il faut donc raccourcir la dernière quinte du cycle. Comme son rapport de fréquences ne vaut plus exactement $3/2$, elle sonne faux.

Les intervalles entre deux notes consécutives des gammes dites de Pythagore ne sont pas égaux, ce qui entrave la transposition pour des instruments jouant dans des tonalités différentes.

La gamme tempérée

Pour régler le problème de la dernière quinte fausse, la connaissance des nombres irrationnels a permis, au XVIIe siècle, de construire des gammes à intervalles égaux. On parle de gamme tempérée, divisée en douze intervalles, appelés demi-tons de valeur égale à $\displaystyle ^{12}\sqrt 2$.

On peut ainsi construire la gamme tempérée : tous les intervalles entre deux notes successives sont égaux à $2^{1/12}$, mais toutes les quintes sont légèrement fausses.