Produit scalaire

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x’ ; y’)$ deux vecteurs non nuls du plan :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u} ; \vec{v})$
Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x’ ; y’)$ deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$ qui est un nombre réel.

Formules d’Al-Kashi
Soit $\rm ABC$ un triangle quelconque.
$\rm BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC \cos(\hat A)$
$\rm AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \times BC \cos(\hat C)$
$\rm AC^2 = AB^2+ BC^2 - 2AB \times BC \cos(\hat B)$

Norme d’un vecteur
Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ un vecteur du plan, $\displaystyle \Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.

Distance entre deux points
Pour $\mathrm A(x_{\mathrm{A}}~ ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ~; y_{\mathrm{B}})$ deux points du plan, $\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$ $= \sqrt{{(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}})}^2 + {(y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}})}^2}$.

Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Équation de droite avec un vecteur normal
Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs normaux.
Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$ et $c$ réels, $(a ~; b)\neq (0 ; 0)$) alors $\vec{n}(a~ ; b)$ est un vecteur normal à $(D)$.
Réciproquement, si $\vec{n}(a~; b)$ ($a$ et $b$ réels, $(a~ ; b) \neq(0 ; 0)$) est un vecteur normal à $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.