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Interactions fondamentales

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Interactions fondamentales 1

Poids :

Le poids noté P ayant pour caractéristique son point d’application (centre de gravité de l’objet) ; sa direction (verticale) ; son sens (de l’objet vers le centre de la Terre (vers le bas)) et sa norme P=m×g avec P le poids en Newton N, m masse de l’objet en kg et g intensité de la pesanteur en N.kg1.

Force de gravitation :

FA/B=FB/A =GmAmBd2Avec :
  • FA/B et FB/A : force en Newton
  • mA et mB : masses des corps A et B en kg
  • d : distance entre les deux corps en m
  • G : constante gravitationnelle

Force électrostatique :

Avec F en Newton (N), k (constante) en N.m2.C2, q1 et q2 charges en Coulomb(C), d distance entre les corps en m.

Poussée d'Archimède :

Principe d'Archimède : tout corps (lâché sans vitesse initiale), plongé dans un fluide homogène subit une force verticale ascendante πa exercée au centre de gravité G du corps considéré égale au poids du volume de fluide déplacé :

πa=mfluide×g=ρ×v×g

ρ étant la masse volumique du fluide et v le volume de fluide déplacé.

Caractéristiques :

  • Origine : centre d'inertie G du système.
  • Sens : du bas vers le haut.
  • Direction : Verticale passant par G et le centre de la Terre.
  • Norme : πa=mfluide×g=ρ×v×g.

πa s'exprime en newton (N) ; mfluide en kg ou ρ en kg.m3 et v en m3 ; g en N.kg1.

Interactions fondamentales 2

Un solide est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à l'action de son poids.

Le système étudié est un solide de masse $\rm m$ et de centre d'inertie $\rm G$.
Le poids $\mathrm{\vec P} = m\vec g$ est la seule force qui s'exerce sur ce système : la deuxième loi de Newton permet d'écrire $\displaystyle \mathrm{\sum \overrightarrow{F_{ext}} = \vec P} = m{\overrightarrow{a_\rm G}}$ soit $m\vec g = m\overrightarrow{g} = m{\overrightarrow{a_\rm G}}$ et enfin $\overrightarrow{a_\rm G} = \vec g$.

Le vecteur accélération du centre d'inertie d'un solide lors d'une chute libre est égal au vecteur champ de pesanteur : la valeur de l'accélération ne dépend pas de la masse du solide.

Dans le référentiel terrestre, on choisit un repère d'espace othonormal $(\mathrm O, \vec i, \vec j, \vec k)$ tel que l'axe vertical $(\mathrm O~;\vec k)$ est dirigé vers le haut.

La relation vectorielle $\overrightarrow{a_\rm G} = \vec g$ permet d'écrire les coordonnées du vecteur accélération du centre d'inertie du solide puisqu'on connaît celles de $\vec g$.

\[\overrightarrow{a_\rm G}(t) = \left\{\begin{array}{ll} a_x(t) = 0\\ a_y(t) = 0\\a_z(t) = -g \end{array}\right.\]

Chute libre sans vitesse initiale :

Par définition, l'accélération étant la dérivée de la vitesse, on en déduit les équations différentielles vérifiées par les coordonnées du vecteur vitesse :

\[\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{dv_x}{dt}  = 0 \\
\displaystyle \frac{dv_y}{dt} = 0 \\
\displaystyle \frac{dv_z}{dt} = -g \\
\end{array}\right.\]

A l'instant de date $t_o$, l'objet est lâché sans vitesse initiale :

\[\mathrm{\overrightarrow{OM}}(t_o) = \mathrm{\overrightarrow{OM_\cal o}}
\left\{\begin{array}{lll}
x(t_o) = 0 \\
y(t_o) = 0 \\
z(t_o) = 0 \\
\end{array}\right.\]

\[\rm et\]

\[\vec v(t_o) = \overrightarrow{v_o}
\left\{\begin{array}{lll}
v_x(t_o) = 0 \\
v_y(t_o) = 0 \\
v_z(t_o) = 0 \\
\end{array}\right.\]

Dans une chute libre sans vitesse initiale, les coordonnées du vecteur vitesse du centre d'inertie vérifient les équations horaires :

\[\vec v(t)
\left\{\begin{array}{lll}
x(t_o) = 0 \\
y(t_o) = 0 \\
z(t_o) = -gt \\
\end{array}\right.\]

La valeur de la vitesse instantanée est donnée par $\displaystyle \sqrt{v_x^2(t) +v_y^2(t) + v_z^2(t)}$.
Dans le cas étudié, nous avons $v(t) = gt$.
Le mouvement rectiligne uniformément varié est qualifié d'uniformément accéléré.

\[\mathrm{\overrightarrow{OM}}(t)
\left\{\begin{array}{lll}
x(t) = 0 \\
y(t) = 0 \\
z(t) = \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 \\
\end{array}\right.\]

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