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Calculs numériques et algébriques

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Expressions algébriques

Développement
Développer une expression, c’est la transformer d’un produit en une somme :
pour tous les nombres a, b, c et d, (a+b)×(c+d) = a×c+a×d+b×c+b×d.
Lorsque l’on a ordonné les termes selon les puissances décroissantes de x, on dit que l’on a réduit l’expression.

Factorisation
Factoriser une expression, c’est la transformer d’une somme en un produit de facteurs : on utilise la formule de développement dans l’autre sens.

Identités remarquables
Pour a et b deux nombres,
(a+b)2=a2+2ab+b2
(ab)2=a22ab+b2
(ab)(a+b)=a2b2
Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

Racine carrée et puissance

Propriétés des racines carrées
Pour a et b deux nombres positifs, a×b=a×b et ab=ab (b non nul).

Exemples :
12= 4×3= 4×3= 23
79= 79= 73.
Pour écrire 75 sous la forme aba et b sont des nombres entiers et où b est le plus petit possible, on décompose 75=3×25 où 25 est un carré parfait.
75=3×25=25×3=53.

Attention : a+ba+b car par exemple 16+9=4+3=7 et 16+9=25=5.     

Propriétés des puissances
Soit a un nombre non nul.
a0=1 et a1=a.
Pour tous les nombres non nuls a et b, et tout m et n nombres entiers relatifs,
an=1an ; an×am=am+n ; aman=amn ; (am)n=am×n ; (a×b)n=an×bn ; (ab)n=anbn.

Exemples : 32×34=32+4=36 ; 2322=232=21=2 ; (3×5)4=34×54.

Equations et inéquations

Equation produit
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.
Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul ».
Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.

Inéquation du premier degré à une inconnue
Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

  • une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres. 
  • une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres. 
  • une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.

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Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrée
Manipuler les formules des puissances de 10
Résoudre des équations
Résoudre des équations produit nul
Résoudre des inéquations

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