Compléments

Fonctions « puissance »
Les fonctions « puissance » ($x\mapsto x^n$, $n\in {\mathbb{N}}^*$) sont dérivables sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et, pour $n$ fixé, leur dérivée est la fonction $x\mapsto n x^{n-1}$.
En particulier, sur $\mathbb{R}$ : $(x\mapsto x^2)’$ est $x\mapsto 2x$ et $(x\mapsto x^3)’$ est $x\mapsto 3x^2$.

Fonction inverse
La fonction inverse ($\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$) est dérivable sur les intervalles ]$-\infty$ ; 0[ et ]0 ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $\displaystyle x\mapsto -\frac{1}{x^2}$.

Dérivée du cosinus et du sinus
La fonction cosinus ($x\mapsto \cos(x)$) est dérivable sur l’intervalle $]-\infty~ ; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto -\sin(x)$.
La fonction sinus ($x\mapsto \sin(x)$) est dérivable sur l’intervalle $]-\infty ~; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto \cos(x)$.

Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et : $(u + v)' = u’ + v’$.

Dérivée d'un produit par un réel
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée d'un produit
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(u \times v) ' = u' \times v + u \times v'$.

Dérivée d’un quotient
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\rm I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$\displaystyle (\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.
En particulier, $\displaystyle (\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{{v}^2}$.

Dérivée d’un composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $\rm I$ par $u(x) = g(ax + b)$ ($a$ et $b$ deux réels, $ax + b \in \rm J$ un intervalle et $g$ dérivable sur $\rm J$).
Si $u$ est dérivable sur $\rm I$, alors $u’(x) = ag’(ax+b)$.