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Dérivation

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Nombre dérivé

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R contenant x0.

On dit que f est dérivable en x0 si le quotient f(x0+h)f(x0)h admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de f en x0 et se note f(x0)

On a donc :

limh0f(x0+h)f(x0)h = f(x0).

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f dérivable en x0 on calcule f(x0).

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction f en un point d'abscisse x0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x0.

Equation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 a pour équation :

y=f(x0)(xx0)+f(x0)

Fonction dérivée

Dérivée des fonctions usuelles
La fonction carré ($x\mapsto x^2$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 2x$.
La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$.

Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et : $(u + v)' = u’ + v’$.

Dérivée d'un produit par un réel
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel.
La fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et : $(k \times u)' = k \times u'$.

Variations de fonctions

Dérivée et variations
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f’(x) > 0$ pour tout $x\in$I, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f’(x) < 0$ pour tout $x\in~I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d’une fonction
Soit $a\in~I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.

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Les dérivées usuelles
Les dérivées usuelles partie 2
Déterminer les variations des fonctions polynômes du second degré

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