Produit scalaire

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs non nuls du plan :
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ = $\| \vec{u} \|$ $\| \vec{v} \|$ cos($\vec{u}$ ; $\vec{v}$)
Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = 0.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$ qui est un nombre réel.

Formules d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle quelconque.
${\mathrm{BC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{AC}}^2$ - 2AB$\times$AC cos($\hat{\mathrm{A}}$)
${\mathrm{AB}}^2$ = ${\mathrm{AC}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AC$\times$BC cos($\hat{\mathrm{C}}$)
${\mathrm{AC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AB$\times$BC cos($\hat{\mathrm{B}}$)

Norme d’un vecteur
Pour $\vec{u}$(x ; y) un vecteur du plan, $\Vert \vec{u}\Vert$ = $\sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.

Distance entre deux points
Pour A(${x}_{\mathrm{A}}$ ; ${y}_{\mathrm{A}}$) et B(${x}_{\mathrm{B}}$ ; ${y}_{\mathrm{B}}$) deux points du plan,
$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}} = \sqrt{{(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}})}^2 + {(y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}})}^2}$.

Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.