Compléments d'analyse

1) Etudier des intégrales convergentes

Définition :

Soient $\rm a \in\mathbb R$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$ avec $\rm a<b$.

Soit $f :\rm [a,b[\to \mathbb K$ continue par morceaux.

L’intégrale de $f$ sur $\rm [a ~;b[$ converge si $\displaystyle\int_a^x f(\rm t)dt$ converge quand $x\to \rm b^-$

Dans ce cas, $\displaystyle\int_{[\rm a ~;~b[}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}=\lim_{x\to \mathrm b^-}\int_\mathrm a^xf\rm (t)dt$.

Définition :

Soient $\rm a\in\mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R$ avec $\rm a<b$.

Soit $f : \rm ]a, b]\to \mathbb K$ continue par morceaux.

L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a ~;b]$ converge si $\displaystyle\int_x^\mathrm b f\rm (t)dt$ converge quand $x\to \rm a^+$.

Dans ce cas, $\displaystyle\int_{]\rm a~ ;~b]}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}=\lim_{x\to\mathrm a^+}\int_x^\mathrm bf\rm (t)dt$.

Définition :

Soient $\rm a\in\mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$.

Soit $f :\rm ]a ~;~b[\to \mathbb R$ continue par morceaux.

L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a~ ;b[$ converge si pour $\rm c\in]a ~;b[$, les intégrales de $f$ sur $\rm ]a ~;c]$ et sur $\rm [c ~;b[$ convergent

Dans ce cas, $\displaystyle \int_{]\rm a~ ;~b[}f=\int_{]\rm a ~;~c]}f+\int_{[\rm c~;~b[}f$.

Propriétés :

Soient $f,g : \rm I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$.

Théorème de comparaison de fonctions positives :

Soient $f,g :\rm [a ~;+\infty[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $0\leq f\leq g$.

Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ converge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge.

Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ diverge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ diverge.

Théorème : Relation de Chasles

Soit $f :\rm I\to\mathbb C$ continue par morceaux telle que $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge.

Pour tous $\rm a,b,c$ éléments ou extrémités de $\rm I$ :

$\displaystyle\mathrm {\int_a^b} f\mathrm{(t)dt=\int_a^c} f\mathrm{(t)dt+\int_c^b} f\rm (t)dt$

Et les intégrales convergent.

2) Critères d'intégrabilité

Théorème :

Soit $f :\rm I\to\mathbb R$ continue par morceaux et positive.

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

Théorème :

Soient $f : \rm I\to \mathbb R$ et $g : \rm I \to \mathbb {R^+}$ continues par morceaux.

Si pour tout $\rm t \in I$, $|f(\mathrm t)|\leq g(\mathrm t)$ avec $g$ intégrable alors $f$ est intégrable.