Réduction des matrices carrées

Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$

Méthode 1 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée

• Les valeurs propres de $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ sont les racines du polynôme caractéristique de $\rm A$ :

$$\rm \chi_A \text{ avec } \chi_A(X)=\det(XI_n-A)$$

• Le polynôme caractéristique de $A$ peut être calculé avec la formule suivante :

$$\rm \chi_A(X)=X^n-tr(A)X^{n-1}+...+(-1)^n \det(A)$$

Propriété :

Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.

Méthode 2 : Savoir si une matrice $\bf{A \in M_n(\mathbb K)}$ est diagonalisable

Définition :

Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ et $\rm D\in D_n(\mathbb K)$ telles que $\rm P^{-1}AP=D$.

Méthode 3 : Etudier un polynôme annulateur

• Soit $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ une matrice
  

$\rm P\in \mathbb K[X]$ est un polynôme annulateur de $A$ si $\mathrm P(A)=0$ ($0$ étant la matrice nulle).

• Si $\bf P$ annule $A$, toute valeur propre de $A$ est racine de $\bf P$.