Filtrage linéaire

Généralités sur les filtres

Un filtre est un quadripôle qui ne transmet que les signaux appartenant à une certaine plage de fréquence, appelée bande passante.

Pour constituer un filtre, il faut utiliser des dipôles comme le condensateur ou la bobine car leur impédance dépend de la fréquence (pour rappel, $Z_L=jL \omega$ et $Z_C=\frac{1}{jC \omega}$).

Pour prévoir la nature d’un filtre (passe bas, passe haut, ...), on peut utiliser les équivalences suivantes :

• Aux basses fréquences, bobine « = » fil et condensateur « = » interrupteur ouvert.
• Aux hautes fréquences, bobine « = » interrupteur ouvert et condensateur « = » fil.

En régime sinusoïdal, la fonction de transfert du filtre, $\underline{H}$, permet de déduire les caractéristiques du signal de sortie en fonction du signal d’entrée :

$\underline H = \frac{\underline {u_s}}{\underline{u_e}}$

Les caractéristiques de la fonction de transfert, $\underline{H}$, peuvent être visualisées sur :

• Le diagramme de Bode en gain qui présente le gain, $G_{dB}=20log(\underline{H})$ , en fonction de la fréquence.
• Le diagramme de Bode en phase qui présente la phase $\phi=arg(\underline{H})$ , en fonction de la fréquence.

La bande passante à -3dB d’un filtre est délimitée par la ou les fréquence(s) de coupure. Dans cette bande passante, le gain en décibel est supérieur au gain maximal - 3dB.

Filtre passe bas d'ordre 1

Il ne laisse passer que les basses fréquences, il coupe les hautes fréquences avec une pente de -20dB/decade. Sa fonction de transfert mise sous forme canonique est :

$\underline H = \frac{H_0}{1+j\frac{f}{f_c}}$

Filtre passe bas d’ordre 2

Il ne laisse passer que les basses fréquences, il coupe les hautes fréquences avec une pente de -40dB/decade. Sa fonction de transfert mise sous forme canonique est :

$\underline H = \frac{H_0}{1-\left( \frac{f}{f_0} \right)^2 +j\frac{1}{Q}\frac{f}{f_0}}$

Filtre passe haut d’ordre 1

Il ne laisse passer que les hautes fréquences, il coupe les basses fréquences avec une pente de +20dB/decade. Sa fonction de transfert mise sous forme canonique est :

$\underline H = \frac{H_0j\frac{f}{f_c}}{1+j\frac{f}{f_c}}$

Filtre passe haut d’ordre 2

Il ne laisse passer que les hautes fréquences, il coupe les basses fréquences avec une pente de +40dB/decade. Sa fonction de transfert mise sous forme canonique est :

$\underline H = \frac{-H_0 \left( \frac{f}{f_0} \right)^2 }{1-\left( \frac{f}{f_0} \right)^2 +j\frac{1}{Q}\frac{f}{f_0}}$

Filtre passe bande d’ordre 2

Il ne laisse passer qu’une bande de fréquence de largeur $f_0/Q$, il coupe les basses (resp.hautes) fréquences avec une pente de +20dB/decade (resp. -20dB/decade). Sa fonction de transfert mise sous forme canonique est :

$\underline H = \frac{H_0}{1+jQ\left( \frac{f}{f_0} -\frac{f_0}{f} \right)}$