Oscillateurs amortis

1. Savoir identifier un oscillateur amorti

Un oscillateur est un système évoluant de part et d’autre d’un équilibre stable. On parle d’oscillateur harmonique en absence de dissipation d’énergie et d’oscillateur amorti en présence de dissipation d’énergie.

Exemples d’oscillateurs amortis : circuit RLC série, système masse-ressort en présence de frottement fluide...

Remarque : On présente, sur cette fiche, les oscillations électriques d’un circuit RLC, mais il faut savoir qu’il existe une analogie électro-mécanique qui fait que cette fiche reste valable pour l’étude d’oscillations mécaniques avec amortissement fluide.

2. Mettre en équation le système

En appliquant la loi des mailles, éventuellement la loi des nœuds et en utilisant les formules liant intensité et tension aux bornes de dipôles, on peut obtenir l’équation différentielle générique d’un oscillateur amorti :

$\ddot{u_c}+\frac{\omega_0}{Q}\dot{u_c}+\omega_0^2u_c=0$

Les paramètres $\omega_0$ et $Q$ sont à définir selon le système étudié. Par exemple, pour un circuit RLC série, $\omega _0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ .

3. Résoudre l’équation différentielle

Les solutions de cette équation différentielle du second ordre sont de trois formes selon le signe du discriminant :

Si $\Delta < 0$, soit $Q > \frac{1}{2}$, $u_c(t)=exp \left( -\frac{\omega_0}{2Q}t \right) (K_1cos(\omega t) +K_2sin(\omega t))$

avec $\omega = \omega _ 0 \sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ la pseudo-pulsation.

Si $\Delta > 0$, soit $Q < \frac{1}{2}$, $u_c(t)= (K_1exp(r_1 t) +K_2exp(r_2 t))$

avec $r_{1,2}=-\frac{\omega _0}{2Q} \pm \omega_0 \sqrt{\frac{1}{4Q^2}-1}$ les racines du polynôme caractéristique de l’équation différentielle.

Si $\Delta = 0$, soit $Q = \frac{1}{2}$, $u_c(t)=exp \left( -\frac{\omega_0}{2Q}t \right) (K_1 +K_2t)$

Pour les trois formes de solutions, $K_1$ et $K_2$ sont des constantes d’intégration à déterminer avec les conditions initiales.

4. Décrire physiquement les différents régimes

Les trois formes de solution mathématique de l’équation différentielle correspondent physiquement à trois régimes :

Le régime pseudo-périodique en cas de faible dissipation ($Q > \frac{1}{2}$), il se caractérise par des oscillations amorties.

Le régime critique qui est un régime intermédiaire ($Q = \frac{1}{2}$) ayant la particularité d’avoir le régime transitoire le plus rapide.

Le régime apériodique en cas de forte dissipation ($Q < \frac{1}{2}$), il se caractérise par l’absence d’oscillations.