Étudier un écoulement en résolvant les équations locales du mouvement (comme l'équation de Navier-Stockes) peut s'avérer très compliqué. Une alternative possible est d'étudier une partie macroscopique de l'écoulement à laquelle on applique les lois de la mécanique et de la thermodynamique.
1. Système ouvert
Un système ouvert est un système thermodynamique délimité par une frontière perméable à la matière.
Or, les lois de la mécanique et de la thermodynamique ne sont valables que pour les systèmes fermés.
Ainsi, dans le cas de l'étude d'un système ouvert $S$, pour effectuer un bilan, il faut construire un système fermé $S^*$ à partir du système ouvert $S$.
Pour ce faire, on considère le système fermé $S^*$ constitué :
- à l'instant t, du système ouvert $S(t)$ et de la masse entrante dans ce système ouvert pendant $dt$ que l'on note $\delta m_e$
- àl'instant t+dt, du système ouvert $S(t+dt)$ et de la masse sortante de ce système ouvert pendant $dt$ que l'on note $\delta m_s$
Avec ce système fermé, il est possible de faire des bilans sur différentes quantités comme la masse, la quantité de mouvement, l'énergie cinétique, etc.
2. Bilan de masse
Par définition, la masse est constante au cours du temps. Par conséquent, en régime stationnaire, la masse du système ouvert est conservée, $\delta m_e = \delta m_s$.
Concrètement, effectuer un bilan de masse revient àformuler la loi de conservation de la masse pour le système ouvert, en fonction de la masse du système ouvert et des débits massiques entrant et sortant.
3. Bilan de quantité de mouvement
Il s'agit d'appliquer le théorème de la résultante cinétique en égalant d'une part la somme des forces extérieures agissant sur le système fermé $S^*$ et, d'autre part, la dérivée particulaire de la quantité de mouvement du système fermé, $\frac{D\vec{p^*}}{Dt}$.
$\frac{D\vec{p^*}}{Dt} = \sum \vec{F_{ext}}$
Pour calculer $\frac{D\vec{p^*}}{Dt}$, on utilise la formule suivante :
$\frac{D\vec{p^*}}{Dt} = \lim\limits_{dt \to 0}\frac{\vec{p^*} (t+dt, r + dr) - \vec{p^*}(t,r)}{dt}$
On commence alors par calculer $\vec{p^*} (t)$ et $\vec{p^*} (t+dt)$, puis on effectue un développement limité au premier ordre de $\vec{p^*} (t+dt)$ pour obtenir le résultat.
