Diffusion de particules

1. Quelques définitions

• Densité volumique de particules de l'espèce $\mathrm{i}$

$\mathrm{n_i=\frac{\delta N_i}{\delta \tau}}$

Avec $\mathrm{\delta N_i}$ le nombre de particules de l'espèce $\mathrm{i}$ contenu dans un élément de volume mésoscopique $\mathrm{\delta \tau}$.

• Vecteur courant de diffusion

$\mathrm{\vec{j_i}=n_i.\vec{v_i}}$

Avec $\mathrm{n_i}$ la densité volumique de particules de l’espèce $\mathrm{i}$ et $\mathrm{\vec{v_i}}$ leur vitesse moyenne.

• Flux de particules à travers une surface élémentaire $\mathrm{\vec{dS}}$

$\mathrm{d^2\Phi=\vec{j_i}.\vec{dS}.dt}$

2. La loi de Fick

$\mathrm{\vec{j_i}=-D_i.\vec{grad}(n_i)}$ avec $\mathrm{D_i}$ le coefficient de diffusion de l'espèce $\mathrm{i}$.

À une dimension on peut écrire : $\mathrm{j_{xi}=-D_i\frac{\partial n_i(x)}{\partial x}}$.

3. L'équation de la diffusion

Dans le cas où il n'y a aucun processus de création ou d’annihilation de particules :

$\mathrm{D_i \Delta n_i = \frac{ \partial n_i}{ \partial t}}$ avec $\Delta$ l'opérateur laplacien.

À une dimension, on peut écrire :

$\mathrm{D_i \frac{ \partial ^2 n_i(x)}{ \partial x^2} = \frac{ \partial n_i}{ \partial t}}$