K=R ou C
I est un intervalle de R.
Méthode 1 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 1
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1 est de la forme (E):x′=a(t)x+b(t) avec a,b fonctions continues de I vers K et pour inconnue x fonction dérivable de I vers K.
Théorème :
Soit (t0,x0)∈I×K.
Le problème de Cauchy {x′=a(t)x+b(t)(E)x(t0)=x0(condition initiale) possède une unique solution définie sur I.
Théorème :
(E0):x′=a(t)x est l'équation homogène associée à (E).
L'ensemble des solutions sur I de l'équation homogène est la droite vectorielle engendrée par t↦eA(t) avec A primitive de la fonction a.
Méthode :
Pour résoudre (E) une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène (E0) pour obtenir la solution homogène x0.
- On cherche une solution particulière à (E) : xp.
- La solution générale de (E) est x(t)=x0(t)+xp(t).
Théorème :
Si la solution homogène est de la forme x0(t)=Cφ(t), on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme xp(t)=C(t)φ(t).
Méthode 2 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 2
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 est de la forme (E):x″=a(t)x′+b(t)x+c(t) avec a,b,c fonctions continues de I vers K et pour inconnue x fonction deux fois dérivable de I vers K.
Théorème :
Soit (t0,x0,x′0)∈I×K2.
Le problème de Cauchy {x″=a(t)x′+b(t)x+c(t)(E)x(t0)=x0(condition initiale)x′(t0)=x′0(condition initiale) possède une unique solution définie sur I.
Théorème :
(E0):x″=a(t)x′+b(t)x est l'équation homogène associée à (E).
L'ensemble des solutions sur I de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de C2(I,K) de dimension 2.
Méthode :
Pour résoudre (E) une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène (E0) pour obtenir la solution homogène x0.
- On cherche une solution particulière à (E) : xp.
- La solution générale de (E) est x(t)=x0(t)+xp(t).
Cas des équations à coefficients constants :
Soit (E):y″+ay′+by=c avec a,b∈K et c:I→K continue.
Pour résoudre l'équation homogène (E0):y″+ay′+by=0.
On résout l'équation caractéristique associée r2+ar+b=0 (Ec) :
- Si K=C, si Δ≠0, (Ec) a deux solutions α,β : x0(t)=λ1eαt+λ2eβt avec λ1,λ2∈C.
- Si K=C, si Δ=0, (Ec) a une solution double α : x0(t)=(λ1+tλ2)eαt avec λ1,λ2∈C.
- Si K=R, si Δ>0, (Ec) a deux solutions α,β : x0(t)=λ1eαt+λ2eβt avec λ1,λ2∈R.
- Si K=R, si Δ=0, (Ec) a une solution double α : x0(t)=(λ1+tλ2)eαt avec λ1,λ2∈R.
- Si K=R, si Δ<0, (Ec) a deux solutions conjuguées α±iβ : x0(t)=(λ1cos(βt)+λ2sin(βt))eαt avec λ1,λ2∈R.
Théorème :
Soit (E):x″=a(t)x′+b(t)x+c(t).
Si la solution homogène est de la forme x0(t)=λφ(t)+μψ(t), avec λ,μ∈R, on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme xp(t)=λ(t)φ(t)+μ(t)ψ(t) avec λ,μ fonctions dérivables.
Méthode 3 : Résoudre des équations linéaires d'ordre n
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n est de la forme (E):x(n) =an−1(t)x(n−1)+an−2(t) x(n−2)+…+a1(t)x′+a0(t)x+b(t) avec a0,a1,…,an,b fonctions continues de I vers K et pour inconnue x fonction n-fois dérivable de I vers K.
Théorème :
Soit (t0,x0,…,xn−1)∈I×Kn.
Le problème de Cauchy {x(n)=an−1(t)x(n−1)+an−2(t)x(n−2)+…+a1(t)x′+a0(t)x+b(t)(E)x(k)(t0)=xk pour 0≤k≤n−1(condition initiale) possède une unique solution définie sur I.
Théorème :
(E0):x(n)=an−1(t)x(n−1)+an−2(t) x(n−2)+…+a1(t)x′+a0(t)x est l'équation homogène associée à (E).
L'ensemble des solutions sur I de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de dimension n de Cn(I,K).
Méthode :
Pour résoudre (E) une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène (E0) pour obtenir la solution homogène x0.
- On cherche une solution particulière à (E) : xp.
- La solution générale de (E) est x(t)=x0(t)+xp(t).