Équations différentielles linéaires

$\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$
$\rm I$ est un intervalle de $\mathbb R$.

Méthode 1 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 1

Définition :

Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1 est de la forme $\rm (E) : x'=a(t)\mathcal x+b(t)$ avec $\rm a, b$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.

Théorème :

Soit $(\mathrm t_0,x_0)\in \mathrm I\times \mathbb K$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{ll} \scriptstyle x'=\mathrm{a(t)}x+\rm b(t) & \scriptstyle(\mathrm E) \\ \scriptstyle x(\mathrm t_0)= x_0 & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.

Théorème :

$(\mathrm E_0) : x'=\mathrm{a(t)}x$ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est la droite vectorielle engendrée par $\rm t\mapsto e^{A(t)}$ avec $\mathrm A$ primitive de la fonction $\mathrm a$.

Méthode :

Pour résoudre $(\mathrm E)$ une fois le type d'équation identifié :

• On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
• On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_p$.
• La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_\mathrm p(\mathrm t)$.

Théorème :

Si la solution homogène est de la forme $x_0\rm (t)=C \varphi(t)$, on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme $x_{\rm p}(t)=C(t) \varphi(t)$.

Méthode 2 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 2

Définition :

Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 est de la forme $\rm (E) : \mathcal x''= a(t)x'+ b(t) \mathcal x+c(t)$ avec $\rm a,b,c$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction deux fois dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.

Théorème :

Soit $(\mathrm t_0,x_0, x_0')\in \mathrm I\times \mathbb K^2$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{lll} \scriptstyle x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x+\rm c(t) & \scriptstyle(\mathrm E) \\ \scriptstyle x(\mathrm t_0)=x_0 & \scriptstyle\text{(condition initiale)} \\ \scriptstyle x'(\mathrm t_0)=x_0' & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.

Théorème :

$(\mathrm E_0) : x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x$ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de $\mathrm C^2(\mathrm I,\mathbb K)$ de dimension $2$.

Méthode :

Pour résoudre $(\mathrm E)$ une fois le type d'équation identifié :

• On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
• On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_\mathrm p$.
• La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_{\rm p}\rm (t)$.

Cas des équations à coefficients constants :

Soit $(\mathrm E) : y''+\mathrm ay'+\mathrm by=\mathrm c$ avec $\rm a,b\in\mathbb K$ et $c : \mathrm I\to \mathbb K$ continue.
Pour résoudre l'équation homogène $(\mathrm E_0) : y''+\mathrm ay'+\mathrm by=0$.

On résout l'équation caractéristique associée $\rm r^2+ar+b=0$ $\rm (E_c)$ :

• Si $\mathbb K=\mathbb C$, si $\Delta \neq 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions $\alpha, \beta$ : $x_0(\rm t)=\lambda_1 e^{\alpha t}+\lambda_2 e^{\beta t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C$.
• Si $\mathbb K=\mathbb C$, si $\Delta = 0$, $\rm (E_c)$ a une solution double $\alpha$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 +t\lambda_2) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C$.
• Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta > 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions $\alpha, \beta$ : $x_0(\rm t)=\lambda_1 e^{\alpha t}+\lambda_2 e^{\beta t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.
• Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta = 0$, $\rm (E_c)$ a une solution double $\alpha$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 +t\lambda_2) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.
• Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta < 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions conjuguées $\alpha \pm \mathrm i \beta$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 \cos(\beta t) +\lambda_2 \sin(\beta t)) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.

Théorème :

Soit $(\mathrm E) : x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x+\mathrm{c(t)}$.
Si la solution homogène est de la forme $x_0(\mathrm t)=\lambda \varphi(\mathrm t)+\mu \psi(\mathrm t)$, avec $\lambda, \mu \in \mathbb R$, on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme $x_{\rm p}\rm (t)=\lambda(t) \varphi(t)+\mu(t) \psi(t)$ avec $\lambda, \mu$ fonctions dérivables.

Méthode 3 : Résoudre des équations linéaires d'ordre $\bf n$

Définition :

Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $\bf n$ est de la forme $(\mathrm E) : x^{(\mathrm n)}$ $=\mathrm a_{\mathrm n-1}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-1)}+\mathrm a_{\mathrm n-2}(\mathrm t)$ $x^{(\mathrm n-2)}+\ldots+\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x+\mathrm{b(t)}$ avec $\rm a_0, a_1, \ldots, a_n, b$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction n-fois dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.

Théorème :

Soit $(\mathrm t_0,x_0,\ldots, x_{\rm n-1})\in \rm I\times \mathbb K^n$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{ll}\scriptstyle x^{(\mathrm n)}=\mathrm a_{\mathrm n-1}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-1)}+a_{\mathrm n-2}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-2)} \\
\scriptstyle +\ldots +\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x+\mathrm{b(t)} & \scriptstyle(\mathrm E)\\
\scriptstyle x^{(\mathrm k)}(\mathrm t_0)=x_\mathrm k \text{ pour } 0\leq \mathrm k\leq \mathrm n-1 & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.

Théorème :

$(\mathrm E_0) : x^{(\mathrm n)}=\mathrm{a_{n-1}(t)}x^{(\mathrm n-1)}+\mathrm{a_{n-2}(t)}$ $x^{(\mathrm n-2)}+\ldots+\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x $ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de dimension $\mathrm n$ de $\rm C^n(I,\mathbb K)$.

Méthode :

Pour résoudre $(\mathrm E)$ une fois le type d'équation identifié :

• On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
• On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_\mathrm p$.
• La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_{\mathrm p}\rm (t)$.

$\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$
$\rm I$ est un intervalle de $\mathbb R$.
$\rm E$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $\rm n\in\mathbb N^*$.

Méthode 1 : Résoudre une équation vectorielle d'ordre 1

Définition :

Une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 est de la forme $(\mathrm E) : x'=\mathrm {a(t)}(x)+\rm b(t)$ avec $\rm a$ fonction continue de $\rm I$ vers $\rm \mathcal{L}(E)$, $\rm b$ fonction continue de $\rm I$ vers $\rm E$ et pour inconnue $x$ fonction dérivable de $\rm I$ vers $\rm E$.

Remarque :

Si on note $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ base de $\rm E$, l'équation vectorielle $\rm (E)$ est équivalente à l'équation matricielle : $\rm X'=A(t)X+B(t)$ avec $\rm A(t)=Mat_e(a(t))$ (matrice carrée de taille $\rm n$), $\rm B(t)=Mat_e(b(t))$ (matrice colonne de taille $\rm n\times 1$) et $\rm X(t)=Mat_e(x(t))$ (matrice colonne de taille $\rm n\times 1$).

Théorème :

Soit $(\mathrm t_0,x_0)\rm \in I\times E$.
Le problème de Cauchy $\left\{\begin{array}{ll} x'=\mathrm{a(t)}(x)+\rm b(t) & \scriptstyle (\rm E) \\ x(\mathrm t_0)=x_0 & \scriptstyle \text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\rm I$.
Cette solution vérifie $x(\mathrm t)=x_0+\displaystyle \int_{\mathrm t_0}^t (\mathrm{a(u)}(x(u))+\mathrm b(u)) \mathrm du$.

Théorème :

$(\mathrm E_0) : x'=\mathrm {a(t)}(x)$ est l'équation homogène associée à $\rm (E)$.
L'ensemble des solutions sur $\rm I$ de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de $\rm C^1(I,E)$ de dimension $\rm n=\dim E$.

Méthode :

Pour résoudre $\rm (E)$ une fois le type d'équation identifié :

• On résout l'équation homogène $\rm (E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
• On cherche une solution particulière à $\rm (E)$ : $x_p$.
• La solution générale de $\rm (E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_\rm p(t)$.

Méthode 2 : Résoudre des équations linéaires d'ordre 1 à coefficients constants

Définition :

Une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre $\bf 1$ à coefficients constants est de la forme $\mathrm{(E)} : x'=\mathrm a(x)+\mathrm{b(t)}$ avec $\rm a \in \mathcal{L}(E)$, $\rm b$ fonction continue de $\rm I$ vers $\rm E$ et pour inconnue $x$ fonction dérivable de $\rm I$ vers $\rm E$.

Théorème :

Soit $x_0\in \rm E$.
Le problème de Cauchy $\left\{\begin{array}{ll} x'=\mathrm a(x) & \scriptstyle\rm (E) \\ x(\mathrm t_0)=x_0 & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie par $x(\mathrm t)=\exp((\mathrm {t-t_0)\cdot a})(x_0)$.

Remarque :

Pour tout $\rm a\in \mathcal{L} (E)$ :

• $\rm \exp(a)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k !}a^k$ $\rm \in \mathcal{L} (E)$
• $\rm t\mapsto \exp(t\cdot a)$ est de classe $\rm C^{\infty}$ et $\displaystyle\rm \frac{d}{dt}(exp(t\cdot a))=a \circ exp(t \cdot a)$.

Cas matriciel :

La traduction matricielle de l'équation donne (avec $\rm t_0=0$) : $\rm X'=AX$ avec $\rm X(0)=X_0$.
La solution est $\rm X(t)=\exp(t\cdot A)X_0$.