K=R ou C
I est un intervalle de R.
Méthode 1 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 1
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1 est de la forme (E):x′=a(t)x+b(t) avec a,b fonctions continues de I vers K et pour inconnue x fonction dérivable de I vers K.
Théorème :
Soit (t0,x0)∈I×K.
Le problème de Cauchy {x′=a(t)x+b(t)(E)x(t0)=x0(condition initiale) possède une unique solution définie sur I.
Théorème :
(E0):x′=a(t)x est l'équation homogène associée à (E).
L'ensemble des solutions sur I de l'équation homogène est la droite vectorielle engendrée par t↦eA(t) avec A primitive de la fonction a.
Méthode :
Pour résoudre (E) une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène (E0) pour obtenir la solution homogène x0.
- On cherche une solution particulière à (E) : xp.
- La solution générale de (E) est x(t)=x0(t)+xp(t).
Théorème :
Si la solution homogène est de la forme x0(t)=Cφ(t), on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme xp(t)=C(t)φ(t).
Méthode 2 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 2
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 est de la forme (E):x″ avec fonctions continues de vers et pour inconnue fonction deux fois dérivable de vers .
Théorème :
Soit .
Le problème de Cauchy possède une unique solution définie sur .
Théorème :
est l'équation homogène associée à .
L'ensemble des solutions sur de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de de dimension .
Méthode :
Pour résoudre une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène pour obtenir la solution homogène .
- On cherche une solution particulière à : .
- La solution générale de est .
Cas des équations à coefficients constants :
Soit avec et continue.
Pour résoudre l'équation homogène .
On résout l'équation caractéristique associée :
- Si , si , a deux solutions : avec .
- Si , si , a une solution double : avec .
- Si , si , a deux solutions : avec .
- Si , si , a une solution double : avec .
- Si , si , a deux solutions conjuguées : avec .
Théorème :
Soit .
Si la solution homogène est de la forme , avec , on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme avec fonctions dérivables.
Méthode 3 : Résoudre des équations linéaires d'ordre
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre est de la forme avec fonctions continues de vers et pour inconnue fonction n-fois dérivable de vers .
Théorème :
Soit .
Le problème de Cauchy possède une unique solution définie sur .
Théorème :
est l'équation homogène associée à .
L'ensemble des solutions sur de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de dimension de .
Méthode :
Pour résoudre une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène pour obtenir la solution homogène .
- On cherche une solution particulière à : .
- La solution générale de est .