Soit E un espace préhilbertien réel de produit scalaire (⋅|⋅).
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. On a : E=F⨁F⊥.
Remarque :
F⊥={x∈E/pour tout y∈F,(y|x)=0} est le supplémentaire orthogonal de F, c’est-à-dire F+F⊥=E, F∩F⊥={0E} et pour tout (x,y)∈F×F⊥,(x|y)=0 (vecteurs orthogonaux).
Méthode 1 : Etudier une projection orthogonale
- Utiliser la définition :
La projection orthogonale sur F est la projection pF sur F parallèlement à F⊥.
- Utiliser l’expression dans une base orthonormale :
Soit (e0,…,en) base orthonormale du sous-espace vectoriel F.
Pour tout x∈E, pF(x)=n∑k=0(ek|x)ek.
- Etudier une suite orthonormale de vecteurs :
Soit (ek)k∈N une suite orthonormale totale d’éléments de E.
Soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e0,…,en) pour tout n∈N.
Alors, pour tout x∈E, (pn(x))n∈N converge vers x.
Remarque :
(ek)k∈N suite de vecteurs de E est totale si ¯Vect{en/n∈N}=E.
Corollaire :
Si (ek)k∈N suite orthonormale totale d’éléments de E, alors pour tout x∈E, x=+∞∑k=0(ek|x)ek.
Méthode 2 : Etudier une isométrie vectorielle
Soit E un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension n∈N∗.
Définition :
Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de E est un endomorphisme u conservant la norme c’est-à-dire pour tout x∈E, ‖.
Théorème :
Soit endomorphisme de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- est orthogonal
- conserve le produit scalaire : pour tous , .
Théorème :
Soient endomorphisme de et une base orthonormale de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- est orthogonal
- La famille est une base orthonormale
Remarque :
, désignant l’ensemble des matrices orthogonales (matrices telles que ) de , est un sous-groupe de , groupe orthogonal d’ordre
Définition :
Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant . Dans le cas contraire (déterminant ), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).
Théorème de réduction :
Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale par la matrice
L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par et d’angle .
Méthode 3 : Etudier un endomorphisme symétrique
Définition :
Un endomorphisme de est symétrique si pour tous , .
Théorème :
Soient un endomorphisme de et une base orthonormale de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- est symétrique
- est symétrique.
Théorème spectral :
Soit endomorphisme de symétrique.
Alors est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de . De manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant .
Remarque :
Par analogie, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable avec des matrices de passages orthogonales.