Soit E un espace préhilbertien réel de produit scalaire (|).
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. On a : E=FF.

Remarque :

F={xE/pour tout yF,(y|x)=0} est le supplémentaire orthogonal de F, c’est-à-dire F+F=E, FF={0E} et pour tout (x,y)F×F,(x|y)=0 (vecteurs orthogonaux).

Méthode 1 : Etudier une projection orthogonale

  • Utiliser la définition :

La projection orthogonale sur F est la projection pF sur F parallèlement à F.

  • Utiliser l’expression dans une base orthonormale :

Soit (e0,,en) base orthonormale du sous-espace vectoriel F.
Pour tout xE, pF(x)=nk=0(ek|x)ek.

  • Etudier une suite orthonormale de vecteurs :

Soit (ek)kN une suite orthonormale totale d’éléments de E.
Soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e0,,en) pour tout nN.
Alors, pour tout xE, (pn(x))nN converge vers x.

Remarque :

(ek)kN suite de vecteurs de E est totale si ¯Vect{en/nN}=E.

Corollaire :

Si (ek)kN suite orthonormale totale d’éléments de E, alors pour tout xE, x=+k=0(ek|x)ek.

Méthode 2 : Etudier une isométrie vectorielle

Soit E un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension nN.

Définition :

Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de E est un endomorphisme u conservant la norme c’est-à-dire pour tout xE, .

Théorème :

Soit endomorphisme de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    1. est orthogonal
    2. conserve le produit scalaire : pour tous , .

Théorème :

Soient endomorphisme de et une base orthonormale de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    1. est orthogonal
    2. La famille est une base orthonormale

Remarque :

, désignant l’ensemble des matrices orthogonales (matrices telles que ) de , est un sous-groupe de , groupe orthogonal d’ordre

Définition :

Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant . Dans le cas contraire (déterminant ), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).

Théorème de réduction :

Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale par la matrice

L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par et d’angle .

Méthode 3 : Etudier un endomorphisme symétrique

Définition :

Un endomorphisme de est symétrique si pour tous , .

Théorème :

Soient un endomorphisme de et une base orthonormale de . Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    1. est symétrique
    2. est symétrique.

Théorème spectral :

Soit endomorphisme de symétrique.
Alors est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de . De manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant .

Remarque :

Par analogie, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable avec des matrices de passages orthogonales.