Soient I,J des intervalles de R et E un K-espace vectoriel de dimension finie avec K=R ou C.

Méthode 1 : Etudier la dérivation de fonctions vectorielles

  • Dérivabilité de fonctions vectorielles

Définition :

Soit f:I→E.
f est dérivable en a∈I si le taux d’accroissement 1h(f(a+h)−f(a)) converge quand h→0 (avec h≠0).
Cette limite est le vecteur dérivé de f en a noté f′(a).

Théorème :

Soit f:I→E.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  • f:I→E est dérivable en a∈I
  • Il existe l∈E tel que f(t)=f(a)+(t−a)⋅l+(t−a)ϵ(t)

Avec ϵ(t)→t→a0E.
C’est le développement limité à l’ordre 1 de f en a. l=f′(a).

Définition :

Soit f:I→E.
f est dérivable en a si elle l’est en tout point de I.

Théorème :

Les fonctions dérivables de I vers E sont continues.

Théorème :

Soit f:I→E de fonctions coordonnées f1,…,fn dans une base de E : e=(e1,…,en). Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  • f est dérivable.
  • f1,…,fn sont dérivables.

Dans ce cas, pour tout t∈I, f′(t)=n∑j=1f′j(t)⋅ej.

  • Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème :

Soient f,g:I→E et α∈K.
Si f et g sont dérivables alors αf et f+g sont dérivables :
(αf)′=αf′ et (f+g)′=f′+g′.

Théorème :

Soit φ:J→I et f:I→E.
Si f et φ sont dérivables alors f∘φ est dérivable et : (f∘φ)′=φ′⋅f′∘φ.

Théorème :

Soient f:I→E et L∈L(E,F) (application linéaire).
Si f est dérivable alors L(f):t↦L(f(t)) est dérivable : (L(f))′=L(f′).

Définition :

Soit f:I→E.
On note f(0)=f la dérivée d’ordre 0 de f.
Pour n∈N, si f(n) existe et est dérivable, on pose f(n+1)=(f(n))′ la dérivée d’ordre n+1 de f.
Si f(n) existe, on dit que f est n fois dérivable.

Théorème :

Soient f,g:I→E et α∈K.
Si f et g sont n fois dérivables alors αf et f+g sont dérivables et (αf)(n)=αf(n) et (f+g)(n)=f(n)+g(n).

Théorème :

Soient f:I→E et L∈L(E,F) (application linéaire).
Si f est n fois dérivable alors L(f) est dérivable : (L(f))(n)=L(f(n)).

Définition :

Soit f:I→E.
f est de classe Cn si f est n fois dérivable et si f(n) est continue.
f est de classe C∞ si f est de classe Cn pour tout n∈N.

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit f:I→E de classe C1.
S’il existe M∈R+ tel que pour tout t∈I, ‖f′(t)‖≤M alors pour tous a,b∈I, ‖f(b)−f(a)‖≤M|b−a|.

Méthode 2 : Etudier l’intégration de fonctions vectorielles

Définition :

Soient f:I→E et e=(e1,…,en) une base de E.
f est continue par morceaux si ses fonctions coordonnées dans la base e sont continues.

Théorème :

L’ensemble C0pm(I,E) des fonctions continues par morceaux de I dans E est un sous-espace vectoriel de l’espace F(I,E).

Définition :

Soient f:I→E et e=(e1,…,en) une base de E.
Supposons que f est continue par morceaux de fonctions coordonnées f1,…fn dans la base e.
Pour tout a,b∈I, l’intégrale de f de a à b est le vecteur :
∫baf(t)dt=∫[a ; b]f(t)dt=n∑j=1∫bafj(t)dt⋅ej

Remarque :

La valeur de l’intégrale est indépendante du choix de e.

Théorème :

Soient f,g:I→E continues par morceaux.
Soient α,β∈K et a,b∈I.
∫baαf+βg=α∫baf+β∫bag.

Théorème :

Soit f:I→E continue par morceaux.
Pour tous a,b,c∈I, ∫baf=∫caf+∫bcf.

Théorème :

Soit f:[a,b]→E continue par morceaux et ‖⋅‖ une norme sur E.
‖∫[a ; b]f‖≤∫[a ; b]‖f‖.

Théorème : Sommes de Riemann

Si f:[a ; b]→E est continue par morceaux alors :
b−ann−1∑k=0f(a+kb−an)→n→+∞∫baf(t)dt.

Définition :

Soit f:I→E.
Une primitive de f est une fonction F:I→E dérivable qui vérifie F′=f.

Théorème :

Soit : f:I→E.
Si f admet des primitives, elles diffèrent entre elles d’une constante vectorielle.

Théorème :

Soient f:I→E et a∈I.
Si f est continue alors f possède une unique primitive F s’annulant en a : F(x)=∫xaf(t)dt. Par conséquent, ddx(∫xaf(t)dt)=f(x).

Théorème du changement de variables :

Soit φ:I→J de classe C1 et f:J→E continue.
Pour tous a,b∈I, ∫βαφ′(t)⋅f(φ(t))dt=∫φ(b)φ(a)f(s)ds.

Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral

Soient f:I→E et a∈I.
Si f est de classe Cn+1, pour tout x∈I,
f(x)=n∑k=0(x−a)kk!f(k)(a)+∫xa(x−t)nn!f(n+1)(t)dt.

Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange

Soient f:I→E et a∈I.
Si f est de classe Cn+1 et si f(n+1) est bornée, alors pour tout x∈I, 
‖f(x)−n∑k=0(x−a)kk!f(k)(a)‖≤|x−a|n+1(n+1)!supt∈I‖f(n+1)(t)‖.

Théorème : Formule de Taylor-Young

Soient f:I→E et a∈I.
Si f est de classe Cn,
f(x)=n∑k=0(x−a)kk!f(k)(a)+(x−a)nϵ(x) avec ϵ(x)→x→a0E.
Cette formule est le développement limité de f à l’ordre n en a.

Méthode 3 : Etudier des arcs paramétrés

Définition :

Un arc paramétré de classe Ck (avec k∈N∗∪{∞}) de E est un couple (I,f) formé d’un intervalle I de R et d’une fonction vectorielle f:I→E de classe Ck.
L’ensemble Γ={f(t)/t∈I} est le support de l’arc (I,f) (appelée aussi courbe paramétrée).
f définit un paramétrage de la courbe Γ.

Définition :

Soient x,y:I→R de classe C1.
L’arc du plan défini par le système :
{x=x(t)y=y(t)
avec t∈I est l’arc paramétré déterminé par l’application f:t↦(x(t),y(t)).

Définition :

L’arc (I,f) admet une demi-tangente à droite en t0 si le vecteur unitaire f(t)−f(t0)‖f(t)−f(t0)‖ admet une limite en t0.
La droite issue du point f(t0) dirigée par ce vecteur est la demi-tangente à droite en t0.
De façon analogue, on définit la demi-tangente à gauche en t0.
Si les deux droites demi-tangentes sont confondues, on dit que l’arc (I,f) admet une tangente en t0.

Définition :

Soit (I,f) un arc paramétré de classe C1 et t0∈I.
Le paramètre t0 est régulier lorsque f′(t0)≠0E.
L’arc est régulier si tous ses paramètres sont réguliers.

Théorème :

Si t0 est un paramètre régulier, alors l’arc paramétré admet une tangente en f(t0) dirigée par f′(t0).