Intégrales sur un intervalle quelconque

Méthode 1 : Etudier le passage à la limite sous l'intégrale

Théorème de convergence dominée :

Soit $(f_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :

• Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux sur $\rm I$.
• La suite $(f_{\rm n})$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
• Il existe une fonction $\varphi$ positive, intégrable sur $\mathbb I$ telle que $|f_{\rm n}|\leq \varphi$ pour tout $\rm n\in\mathbb N$ (hypothèse de domination).

Alors les fonctions $f_{\rm n}$ et $f$ sont intégrables sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f_{\rm n}$ converge vers $\displaystyle \int_{\mathrm I} f$.

Théorème d'intégration terme à terme :

Soit $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ série de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :

• Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux et intégrables sur $\rm I$.
• $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
• $\displaystyle \sum \int_{\mathrm I}|f_{\rm n}\rm (t)|dt$ converge.

Alors $f$ est intégrable sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty} \int_{\mathrm I} f_{\rm n}\rm (t)dt$.

Méthode 2 : Etudier la continuité d'une intégrale à paramètres

Théorème :

Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X \times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :

• $f$ est continue par rapport à la première variable.
• $f$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
• Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).

Alors $g : x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est définie et continue sur $\rm X$.

Remarque :

L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~; b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a ~;b]$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$.

Méthode 3 : Etudier la dérivation d'une intégrale à paramètres

Théorème :

Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :

• Pour tout $x\in \rm X$, $\mathrm t\mapsto f(x,\mathrm t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $\rm I$.
• $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est définie sur $\rm X\times I$, continue par rapport à la première variable.
• $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
• Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $\displaystyle \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\right|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).

Alors $g :x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est de classe $\rm C^1$ sur $\rm X$ et pour tout $x \in \rm X$, $g'(x)=\displaystyle\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,\rm t)dt$.

Remarque :

L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~;b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a~ ;b]$, $\displaystyle \bigg|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\bigg|\leq \varphi$.

Méthode 1 : Etudier des intégrales convergentes

Définition :

Soient $\rm a \in\mathbb R$ et $\rm b \in \mathbb R \cup \{+\infty\}$ avec $\rm a < b$.
Soit $f :\rm [a,b[\to \mathbb K$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm [a ~;b[$ converge si $\displaystyle \int_a^x f(\rm t)dt$ converge quand $x\to \rm b^-$.

Dans ce cas, $\displaystyle \int_{[\rm a ~; ~b[}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \lim_{x\to \mathrm b^-}\int_\mathrm a^xf\rm (t)dt$.

Définition :

Soient $\rm a \in\mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R$ avec $\rm a < b$.
Soit $f : \rm ]a, b] \to \mathbb K$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a ~;b]$ converge si $\displaystyle \int_x^\mathrm b f\rm (t)dt$ converge quand $x\to \rm a^+$.

Dans ce cas, $\displaystyle \int_{]\rm a ~;~b]}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle =\lim_{x\to \mathrm a^+}\int_x^\mathrm bf\rm (t)dt$.

Définition :

Soient $\rm a \in \mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R\cup \{+\infty\}$.
Soit $f :\rm ]a ~; b[\to \mathbb R$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a~ ;b[$ converge si pour $\rm c\in]a ~;b[$, les intégrales de $f$ sur $\rm ]a ~;c]$ et sur $\rm [c ~;b[$ convergent.

Dans ce cas, $\displaystyle \int_{]\rm a~ ;~b[}f =\int_{]\rm a ~;~c]}f+\int_{[\rm c~ ;~b[}f$.

Propriétés :

Soient $f,g : \rm I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$.

• Si les intégrales $\int_\mathrm I f$ et $\int_\mathrm I g$ convergent :
• Si $\int_\mathrm I f$ converge et si $f\geq 0$, alors $\int_\mathrm I f\geq 0$.
• Si $\int_\mathrm I f$ converge, si $f\geq 0$ et si $\int_\mathrm I f=0$, alors $f$ est la fonction nulle.
• Si $\int_\mathrm I f$ converge, alors $\int_\mathrm I \bar{f}$ converge et $\int_\mathrm I \bar{f}=\bar{\int_\mathrm I f}$

Théorème de comparaison de fonctions positives :

Soient $f,g :\rm [a ~;+\infty[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $0\leq f\leq g$.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ converge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ diverge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ diverge.

Théorème :

Soit $f :\rm [a ~; +\infty[\to \mathbb R$ continue de primtive $\rm F$.

Il y a équivalence entre :

• $\displaystyle \int_\mathrm a^{+\infty}f\rm (t)dt$ converge.
• $\mathrm F(x)$ converge quand $x\to +\infty$.

On a alors : $\displaystyle \int_\mathrm a^{+\infty}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\mathrm F(x)-\mathrm F(\mathrm a)$ $=[\mathrm F(x)]_{\rm a}^{+\infty}$

Théorème :

Si $f$ est continue et si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge alors $\displaystyle \frac{\rm d}{\mathrm dx}\bigg(\int_\mathrm a^{+\infty}f\bigg)=-f(x)$.

Théorème : Relation de Chasles

Soit $f :\rm I \to\mathbb C$ continue par morceaux telle que $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge.
Pour tous $\rm a, b, c$ éléments ou extrémités de $\rm I$ :
$\displaystyle \mathrm {\int_a^b} f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \mathrm{\int_a^c} f\mathrm{(t)dt + \int_c^b} f\rm (t)dt$

Et les intégrales convergent.

Méthode 2 : Critères d'intégralité

• Intégrabilité sur un intervalle quelconque

Théorème :

Soit $f :\rm I \to\mathbb R$ continue par morceaux et positive.

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge
• Il existe $\rm M \in\mathbb R$, tel que pour tout $\rm [\alpha,\beta] \subset I$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f\leq \rm M$

Définition :

Soit $f : \rm I\to\mathbb K$ fonction continue par morceaux.
$f$ est intégrable sur $\rm I$ si $\displaystyle \int_\mathrm I |f \rm (t)|dt$ converge.
L’intégrale $\int_\mathrm I f\rm (t)dt$ est absolument convergente.

Théorème :

Si $f$ intégrable sur $\rm I$, alors $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge et $\displaystyle \left|\int_\mathrm I f\right|\leq \int_\mathrm I|f|$

Théorème :

Soient $f,g :\rm I\to \mathbb K$ continues par morceaux et $\alpha,\beta \in\mathbb K$.
Si $f$ et $g$ sont intégrables alors $\alpha f+\beta g$ est intégrable.

• Utiliser la comparaison de fonctions 

Théorème :

Soient $f : \rm I \to \mathbb R$ et $g : \rm I \to \mathbb {R^+}$ continues par morceaux.
Si pour tout $\rm t \in I$, $|f(\mathrm t)|\leq g(\mathrm t)$ avec $g$ intégrable alors $f$ est intégrable.

Théorème de comparaison asymptotique :

Soient $f : \rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ et $g : \rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $\rm a\in\mathbb R$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$.
Si $f \mathrm{(t)\underset{t\to b^-}=O}(g(\rm t))$ et si $g$ intégrable alors $f$ intégrable.
Soient $f, g :\rm [a~ ;b[\to\mathbb R^+$ continues par morceaux.
Si $f \mathrm{(t)\underset{t\to b^-}\sim} g(\rm t)$ alors $\displaystyle \int_{\rm [a ~;~b[}f$ et $\displaystyle \int_{\rm [a ~;~b[}g$ ont même nature.

• Utiliser des intégrales usuelles

Théorème : Intégrales de Riemann

Soit $\alpha\in\mathbb R$.
$\rm \displaystyle \rm \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Théorème :

Soit $\rm a < b$ deux réels et $\alpha\in\mathbb R$. $\rm \displaystyle \int_a^b\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.

Théorème :

Pour $\alpha,\beta \in\mathbb R$, $\displaystyle\rm \int_e^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}(\ln t)^{\beta}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta>1$).

Méthode 3 : Applications aux calculs d'intégrales

Théorème de changement de variables :

Soient $f$ continue sur $\rm ]a ~;b[$ et $\rm \varphi : ]\alpha~ ;\beta[\to ]a~ ;b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\rm C^1$.
Alors les intégrales $\displaystyle\mathrm{\int_a^b} f\rm (t)dt$ et $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(u))\varphi’(u)\mathrm du$
Sont de même nature et en cas de convergence :

$$\displaystyle\mathrm{\int_a^b} f\mathrm{(t)dt}=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(u))\varphi’(u)\mathrm du.$$

Théorème d’intégration par parties :

Soient $\rm I$ un intervalle d’extrémités $\rm a < b\in\bar{\mathbb R}$ et $u,v : \rm I\to \mathbb K$ de classe $\rm C^1$.

En cas de convergence :

$\displaystyle \mathrm{\int_a^b}u'(\mathrm t)v\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle= [uv]_{\rm a^+}^{\rm b^-}- \int_a^bu(t)v'\rm (t)dt.$