Linéarisation et applications

1) Linéariser signifie transformer un produit en somme. 

Pour linéariser des expressions trigonométriques, on dispose soit des formules de trigonométrie soit des formules d'Euler.

2) Formule de linéarisation à connaître ou savoir retrouver.

• $\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}}$
• $\displaystyle{\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}}$
• $\displaystyle{\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)}$
• $\displaystyle{\sin a \sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]}$
• $\displaystyle{\sin a \cos b = \frac{1}{2}\left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]}$
• $\displaystyle{\cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]}$

3) Utilisation des formules d'Euler

Lorsque les puissances sont grandes, il est préférable d'utiliser les formules d'Euler :

$\displaystyle{\cos^px\sin^qx = \left(\frac{\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix}}{2}\right)^p \left(\frac{\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{-ix}}{2i}\right)^q}$

On développe tout à l'aide de la formule du binôme de Newton puis on revient en $\cos$ et $\sin$ en réutilisant les formules d'Euler dans le sens : $\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix} = 2\cos(x)$ et $\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{-ix} = 2 i \sin(x)$.

4) Applications

a) résolution d'équations trigonométriques

Résoudre l'équation $(\mathrm E) :\sin(x) + \sin(2x)$ $+$ $\sin(3x) + \sin(4x)= 0$.

On a, par les formules de trigonométrie, $\displaystyle \sin(x) + \sin(2x) = 2\sin\left(\frac{3x}{2}\right) \cos\left(-\frac{x}{2}\right)$ et $\displaystyle\sin(3x) + \sin(4x) = 2\sin\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(-\frac{x}{2}\right)$.

Donc $\displaystyle (\mathrm E) \iff \cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{7x}{2}\right) \right] =0$ $\iff$ $\displaystyle\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos(x)=0$.

Donc $\displaystyle(\mathrm E) \iff \cos\left(\frac{x}{2}\right) =0$ ou $\displaystyle\sin\left(\frac{5x}{2}\right)=0$ ou $\cos(x)=0$.

$\mathrm S = \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi~; \pi + 2l\pi~; \frac{2m\pi}{5} \mid (k,l,m)\in{\Bbb Z}^3\right\}$.

b) Calcul d'une primitive ou d'une intégrale

Calculons $\displaystyle{I(x) = \int \cos^2(x) {\rm d}x}$.

Par le formulaire, $\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}}$.
Donc $\displaystyle\mathrm I(x) = \frac{1}{2} \left( \int 1 {\rm d}x + \int \cos(2x) {\rm d}x \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right)$.

c) Calcul d'une primitive ou d'une intégrale.

Calculer la primitive $\displaystyle{\int \sin^4(3x)\cos x{\rm d}x}$.

Ce n'est pas une forme connue.

On linéarise l'expression $\mathrm A(x) = \sin^4(3x)\cos x$ grâce aux formules d'Euler. 

$\displaystyle \mathrm A(x) = \frac{1}{2^5}\left(\mathrm e^{i3x}-\mathrm e^{-i3x}\right)^4\left(\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix}\right)$.

Après développement, on trouve $\displaystyle \mathrm A(x) = \frac{1}{2^4}\left[\cos(13x) + \cos(11x) -4\cos(7x) -4\cos(5x)+6\cos(x)\right]$.

D'où $\displaystyle \int \mathrm A(x) {\rm d}x = \frac{1}{2^4}\left[\frac{1}{13}\sin(13x) + \frac{1}{11}\sin(11x)\right.$ $-$ $\left.\displaystyle\frac{4}{7}\sin(7x) - \frac{4}{5}\sin(5x)+6\sin(x)\right]$.

Remarque : calculer la primitive $\displaystyle{\int \sin^4(x)\cos(x) {\rm d}x}$. Inutile de linéariser ici ! C'est une forme connue. L'expression $\sin^4(x)\cos x$ est du type $u^4(x)u'(x)$. On a alors $\displaystyle{\int \sin^4(x)\cos(x){\rm d}x = \frac{1}{5}\sin^5(x)}$.