Ondes sonores dans les fluides

Les ondes sonores sont le produit de vibrations mécaniques d'un fluide. Elles ne peuvent donc pas se propager dans le vide. Leur propagation se fait de manière longitudinale.

1. Hypothèses de travail

Pour étudier la propagation d'ondes sonores, on suppose que :

• Les phénomènes dissipatifs sont négligeables (on néglige donc la viscosité et la conduction thermique du fluide dans lequel les ondes se propagent).
• Les effets de la pesanteur sont négligeables devant les effets de pression.
• Approximation acoustique : cette approximation consiste à supposer qu'une onde sonore engendre des variations de pression, de masse volumique et de vitesse très faibles devant leur valeur au repos. Ces trois variations, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles, sont donc considérées comme des infiniment petits du premier ordre. On notera donc :

$p=P_0+p_1$ , $\mu=\mu_0+\mu_1$ et $v=v_1$

avec $X_0$ les grandeurs au repos et $X_1$ les perturbations du premier ordre.

2. Équations des ondes sonores

• Équation d'Euler (en tenant compte des hypothèses de travail dont l'hypothèse acoustique) :

$\mu \frac{\partial \vec{v_1}}{\partial t} + \vec{grad} (p_1) = 0$

• Équation de conservation de la masse :

$\frac{\partial \mu _1}{\partial t} + \mu_0 div(\vec{v_1}) = 0$

• Équation thermodynamique

$\mu_0\chi_Sp_1 - \mu_1 = 0$

• Équation de propagation (équation de d'Alembert)

$\Delta p_1 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 p_1}{\partial t^2} = 0$

avec $c$ la célérité de l'onde, $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\chi_S}}$.

Remarque : la vitesse $v_1$ vérifie aussi l'équation de d'Alembert.

3. Solutions sous forme d'OPPH

Si on suppose que l'onde est unidirectionnelle selon les x croissants, on peut exprimer la surpression et la vitesse en notation complexe sous la forme suivante :

$\underline p=A.exp(j(\omega t - kx))$

$\underline v=B.exp(j(\omega t - kx))$

avec la relation de dispersion $k=\frac{\omega}{c}$.

Remarque : on peut introduire l'impédance acoustique, $Z=\frac{p_1}{v_1}$.