1. Définition d'une corde vibrante

Une corde vibrante est un modèle physique permettant de représenter les mouvements d'oscillation d'un fil tendu. Dans le cadre du programme, on travaille avec les hypothèses suivantes :

  • La corde est sans épaisseur, inextensible et sans raideur.
  • Le poids de la corde est négligeable devant la tension de la corde.
  • La tension de la corde est tangente à la corde et de norme constante.
  • La corde, de longueur L, est fixée à ses deux extrémités (cette hypothèse n'est pas propre au programme, mais propre à cette fiche seulement).

2. Équation d'onde d'une corde vibrante

En appliquant la seconde loi de Newton à une portion de corde de dimension $dx$, on peut démontrer que les variations spatiotemporelles d'une petite déformation transversale $z(x,t)$ vérifient l'équation de d'Alembert :

$\frac{\partial ^2 z(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 z(x,t)}{\partial t^2} = 0$

avec $c$ la célérité ou vitesse de propagation de la déformation.

3. Solutions de l'équation de d'Alembert

Lorsque la corde est fixée à ses deux extrémités, ces dernières constituent deux nœuds de vibration. Du fait de ces conditions aux limites, les seules solutions admissibles à l'équation de d'Alembert sont des solutions en ondes stationnaires de pulsation :

$\omega _n = \frac{n \pi c}{L}$

avec $n$ un entier tel que à chaque valeur de $n$ correspond un mode propre de vibration de la forme :

$z _n (x,t) =\left[ a_nsin(n\omega_0t)+b_ncos(n\omega_0t) \right]sin \left(n\omega_0 \frac{x}{c} \right)$

Étant donné la linéarité de l'équation de d'Alembert, la solution générale de l'équation de d'Alembert vérifiant les conditions aux limites est une superposition de tous les modes propres :

$z (x,t) =\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \left[ a_nsin(n\omega_0t)+b_ncos(n\omega_0t) \right]sin \left(n\omega_0 \frac{x}{c} \right)$

Dans chaque mode de vibration, la corde oscille « sur place », il apparaît une structure de nœuds et de ventre à des positions caractéristiques. Pour ce type de solution, l'énergie ne se propage plus, elle est stationnaire.

Remarque : les solutions en ondes stationnaires de l'équation de d'Alembert sont à opposer aux solutions en ondes progressives obtenues avec une corde infinie par exemple.