Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$ et $\rm u$ un endomorphisme de $\rm E$.
Méthode 1 : Identifier les éléments propres d’un endomorphisme
- $x$ est vecteur propre de $u$ si : $x\neq 0_\rm E $ et il existe $\lambda \in \mathbb K$ tel que $u(x)=\lambda x$.
- $\lambda$ est valeur propre de $u$.
Le spectre de $u$ noté $\mathrm{Sp}(u)$ est l’ensemble des valeurs propres de $u$.
$\mathrm E_{\lambda}(u)=\rm \ker(u-\lambda Id_E)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$.
- Un endomorphisme $u\in \rm L(E)$ possède au plus $\rm \dim (E)$ valeurs propres.
Méthode 2 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée
- Les valeurs propres de $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ sont les racines du polynôme caractéristique de $\rm A$ :
$\rm \chi_A$ avec $\rm \chi_A(X)=\det(XI_n-A)$
- Le polynôme caractéristique de $A$ peut être calculé avec la formule suivante :
$\rm \chi_A(X)$ $\rm =X^n-tr(A)X^{n-1}+\ldots+(-1)^n \det(A)$
Propriété :
Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.
Méthode 3 : Savoir si un endomorphisme $u$ $\bf{\in L(E)}$ est diagonalisable
Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. Cette base est appelée base de diagonalisation de $u$ ou base propre de $u$.
- En utilisant le théorème suivant :
Soit $u\in \rm L(E)$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- $u$ est diagonalisable.
- Il existe une base de $\rm E$ formée de vecteurs propres de $u$.
- $\rm E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $u$ c’est-à-dire $\mathrm E=\displaystyle\oplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}\mathrm E_{\lambda}(u)$
- $\displaystyle\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}\dim E_{\lambda}(u)=\dim \mathrm E$
Méthode 4 : Savoir si une matrice $\bf{A \in M_n(\mathbb K)}$ est diagonalisable
Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ et $\rm D\in D_n(\mathbb K)$ telles que $\rm P^{-1}AP=D$.
- En utilisant le lien avec l’endomorphisme :
Soit $\rm A$ la matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- $\rm A$ est diagonalisable
- $u$ est diagonalisable
Théorème :
Si $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ admet $\rm n$ valeurs propres distinctes alors $\rm A$ est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.
Méthode 5 : Trigonalisation
- Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est trigonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
Cette base est appelée base de trigonalisation de l’endomorphisme $u$.
- Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
- Soit $\rm A$ matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$. Il y a équivalence entre « $\rm A$ est trigonalisable » et « $u$ est trigonalisable ».
Théorème :
Un endomorphisme $u$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé dans $\rm \mathbb K[X]$.