Séries et familles sommables

Méthode 1 : Etudier la convergence d’une série numérique

• Utiliser la définition :

Définition :

Une série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge si la suite de ses sommes partielles $\displaystyle\mathrm{(S_n)_{n\in\mathbb N}}$ avec $\displaystyle \mathrm{S_n=\sum_{k=0}^n} u_{\rm k}$ converge. 

On note $\mathrm{\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}u_{\mathrm k}$ $\displaystyle =\lim_{\rm n\to +\infty}-\displaystyle\sum_{\mathrm k=0}^{\mathrm n}u_{\rm k}$.

Théorème :

Si la série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge, alors la suite $\displaystyle(u_{\rm n})_{\rm n}$ tend vers $0$.

Remarque :

Si $(u_{\rm n})_{\rm n}$ ne tend pas vers $0$, on dit que la série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ diverge grossièrement.

• Utiliser des opérations :

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ et $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ deux séries convergentes et $\mathrm{\lambda \in \mathbb K}$.
Alors $\displaystyle\sum \lambda u_{\rm n}$ et $\displaystyle\sum u_{\mathrm n}+v_{\mathrm n}$ sont des séries convergentes.

Théorème :

Soit $\displaystyle\sum z_{\rm n}$ une série complexe.
Si $\displaystyle\sum z_{\rm n}$ converge, alors $\displaystyle\sum \overline{z_{\rm n}}$ converge.

• Cas des séries à termes positifs :

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ et $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ deux séries à termes positifs telles que pour tout $\displaystyle\mathrm n\in\mathbb N$, $u_{\mathrm n} \leq v_{\mathrm n}$.

1. Si $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ converge, alors $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge.
2. Si $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ diverge, alors $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ diverge.

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ et $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ deux séries à termes positifs.
Si $\displaystyle u_{\mathrm n} \sim v_{\mathrm n}$, alors les séries $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ et $\displaystyle\sum v_{\rm n}$ ont même nature.

Définition :

Soit $(u_{\rm n})$ une suite réelle ou complexe.
$\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge absolument si $\displaystyle\sum |u_{\rm n}|$ converge.

Théorème :

Si $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge absolument, alors la série converge.

• Utiliser des séries de références :

Théorème (séries de Riemann) :

$\mathrm{\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{\alpha}}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Théorème (séries géométriques) :

Soit $\mathrm{q\in\mathbb C}$.

1. Si $\rm |q|\geq 1$, alors $\displaystyle\rm \sum q^n$ diverge grossièrement.
2. Si $\rm |q|<1}$, alors $\displaystyle\rm \sum q^n$ converge absolument et $\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$

• Règle de d’Alembert :

Soit $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ une série de termes non nuls.
On suppose que $\displaystyle \left|\frac{u_{\mathrm n+1}}{u_\rm n}\right|\to \rm I$ avec $\rm I\in\mathbb R^+ \cup \{+\infty\}$.
Si $\mathrm{I>1}$, $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ diverge grossièrement.
Si $\mathrm{I=1}$, on ne peut rien conclure.
Si $\mathrm{I<1}$, $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge absolument.

• Identifier une série alternée :

Définition :

Une série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ est alternée si pour tout $\mathrm{n\in\mathbb N}$, $u_{\rm n}=(-1)^n$ $|u_{\rm n}|$ ou $u_{\rm n}=(-1)^{\rm n+1}$ $|u_{\rm n}|$.

Théorème (critère spécial des séries alternées) :

Soit $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ une série alternée.
Si $\left(|u_{\rm n}|\right)_{n\geq 0}$ est une série décroissante tendant vers $0$, alors $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge.
De plus, le reste $\mathrm{R_n} =\displaystyle \sum_{\mathrm{k=n+1}}^{+\infty} u_{\rm k}$ est du signe de $u_{\rm n+1}$ et $\mathrm{|R_n|}\leq |u_{\rm n+1}|$.

• Utiliser le lien suite et série :

Théorème :

La suite $(u_{\rm n})$ et la série $\displaystyle\sum (u_{\mathrm n+1}-u_{\mathrm n})$ sont de même nature.

Méthode 2 : Comparer série et intégrale

Théorème :

Soit $f :[0~;+\infty[ \to \mathbb R$ continue par morceaux, décroissante et positive.
La série de terme général $\displaystyle w_{\rm n}=\int_{n-1}^{\rm n}$ $f(\mathrm{t)dt}-f(\rm n)$ est convergente.

Corollaire :

Sous les mêmes hypothèses, $\displaystyle\sum f_{\rm n}$ et $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(\rm t)dt$ sont de même nature.

Méthode 3 : Etudier la convergence d’une série d’éléments d’un espace normé

Remarque :

Les séries numériques sont un cas particulier des séries d’éléments d’un espace normé.
Soit $\mathrm{(u_n)}$ suite d’éléments de l’espace normé $\mathrm{\left(E,\|\cdot\|\right)}$.

Définition :

La série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge si la suite de ses sommes partielles $\mathrm{(S_n)_{n\in\mathbb N}}$ avec $\displaystyle\mathrm{S_n}=\sum_{\mathrm k=0}^\mathrm n u_{\rm k}$ converge.
On note $\displaystyle \sum_{\mathrm k=0}^{+\infty}u_{\rm k}$ $\displaystyle=\lim_{\mathrm n\to +\infty}\sum_{\mathrm k=0}^{\mathrm n}u_{\rm k}$.

Définition :

La série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ d’éléments de $\mathrm{E}$ converge absolument si $\displaystyle\sum \left\|u_\rm n\right\|$ converge.

Théorème :

Si $\mathrm{E}$ est de dimension finie, si $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge absolument alors $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge.

Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable

• Utiliser la définition :

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec $\mathrm{\mathbb N}$.

Théorème :

Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de $\mathbb N$.

• Utiliser des opérations :

Théorème :

1. Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
2. Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

• Identifier des ensembles dénombrables connus :

Les ensembles $\mathbb N^2$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ sont dénombrables.

Méthode 2 : Etudier des familles à termes positifs

Définition :

Soit $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ famille de réels positifs et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ est dite sommable si pour tout $\mathrm{F}$ partie finie de $\mathrm{I}$, l’ensemble des sommes $\displaystyle\sum_{\mathrm{i\in F}}u_{\rm i}$ est majoré.
Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{\mathrm{i\in I}}u_{\mathrm i} = \sup_{\mathrm{F \text{ finie } \subset~ I}}\sum_{\mathrm{i\in F}}u_{\rm i}$, sinon $\displaystyle\sum_{\mathrm{i\in I}}u_{\rm i}=+\infty$.

Théorème de sommation par paquets :

Soient $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ famille de réels positifs et $\displaystyle\mathrm{(I_n)_{n\in \mathbb N}}$ partition de $\mathrm{I}$ (pour tous $\mathrm{n\neq m}$, $\displaystyle\mathrm{I_n \cap I_m=\emptyset}$ et $\displaystyle\mathrm{\displaystyle \cup_{\rm n\in\mathbb N}\rm I_n=I}$).

Il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ est sommable.
2. Chaque famille $(u_{\rm i})_{\rm i\in I_n}$ est sommable.

Et la série $\displaystyle\sum \left(\sum_{\mathrm{i\in I_n}}u_\rm i\right)$ converge.
Dans ce cas $\displaystyle\sum_{\mathrm{i\in I}}u_{\rm i}$ $\displaystyle= \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty}\left(\sum_{\mathrm{i\in I_n}}u_{\rm i}\right)$.

Méthode 3 : Etudier des familles complexes

Définition :

Soit $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ famille de nombres réels ou complexes et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{\rm i})_{\rm i\in I}$ est dite sommable si la famille $(|u_{\rm i}|)_{\rm i\in I}$ l’est.

Théorème :

S’il existe une famille de réels positifs $(v_{\rm i})_{\rm i\in I}$ sommable vérifiant pour tout $\mathrm{i\in I}$, $|u_\mathrm i|\leq v_{\mathrm i}$, alors la famille $(u_{i\rm})_{\rm i\in I}$ est sommable.

Théorème :

Si $\mathrm{I=\mathbb N}$, il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{\rm i})_{n\in \mathbb N}$ est sommable
2. $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge absolument.

Méthode 4 : Permuter des sommes

Théorème :

Soit $(u_{\rm m,n}){_{(\rm m,n)\in\mathbb N^2}$ une famille de réels ou complexes. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

1. La famille $(u_{\rm m,n}){_{(\rm m,n)\in\mathbb N^2}}$ est sommable.
2. Pour tout $\mathrm{n\in\mathbb N}$, la série $\displaystyle\sum_{\mathrm m} |u_{\mathrm{m,n}}|$ converge et la série $\displaystyle\sum_{\mathrm n} \sum_{\mathrm m=0}^{+\infty}$ $\displaystyle|u_{\rm {m,n}}|$ converge.

Dans ce cas, $\displaystyle \sum_{(\mathrm{m,n})\in\mathbb N^2}u_{\mathrm{m,n}}$ $\displaystyle = \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty}\left(\sum_{\mathrm m=0}^{+\infty}u_{\mathrm{m,n}}\right)$ $\displaystyle = \sum_{\mathrm m=0}^{+\infty}\left(\sum_{\mathrm n=0}^{+\infty}u_{\mathrm{m,n}}\right).$
Il s’agit de la formule de Fubini.