Topologie des espaces vectoriels normés

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Méthode 1 : Etudier une norme

• Utiliser la définition :

Soit l’application : $\mathrm{\|\cdot\|:E\to \mathbb R^+}$.

$\|\cdot\|$ est une norme si :

• Pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|=0 \Rightarrow x=0_{\rm E}$
• Pour tout $\lambda \in \mathbb K$, pour tout $x\in \rm E$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
• Pour tous $x, y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$.

$\mathrm{(E,\|\cdot\|)}$ est alors appelé espace normé.

• Reconnaître des normes usuelles :

• Sur $\mathbb R$, la valeur absolue est une norme
• Sur $\mathbb C$, le module est une norme
• Sur $\rm \mathbb K^n$, $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_{\infty}$ sont des normes avec :

$$\begin{array}{ll}
\|x\|_1=|x_1|+\ldots+|x_\mathrm n| \\
\displaystyle \|x\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\ldots+|x_\mathrm n|^2} \\
\|x\|_{\infty}=\text{max}\{|x_1|,\ldots,|x_{\rm n}|\}
\end{array}$$

Avec $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$

• Sur $\mathrm{B(X,\mathbb K)}$ (ensemble des fonctions définies sur $\mathrm{X}$, non vide, à valeurs dans $\mathbb K$, bornées), $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme avec $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in \mathrm X}|f(x)|$ (norme de la convergence uniforme)
• Sur $\mathrm{C([a~ ;b],\mathbb K)}$ (espace des fonctions continues de $\mathrm{[a,b]}$ vers $\mathbb K$), $\|\cdot\|_{\infty}$, mais aussi $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont des normes avec :
  $\displaystyle \|f\|_1=\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm{t)|dt}$
  $\displaystyle \|f\|_2=\bigg(\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm t)|^2\rm dt\bigg)^{1/2}$
  (normes de la convergence en moyenne et en moyenne quadratique).

• Identifier une norme sur un produit d’espaces normés :

Soient $\mathrm{(E_1,\|\cdot\|_1), \ldots, (E_r,\|\cdot\|_r)}$ des espaces normés.
On note $\mathrm{E=E_1\times\ldots\times E_r}$.
Soit $x=(x_1,\ldots,x_{\rm r})\in \rm E$.
$\displaystyle \|x\|=\text{max}_{1\leq \mathrm{i \leq r}}\|x_{\rm i}\|$
$\mathrm{\|\cdot\|}$ est une norme sur $\mathrm{E}$.

Méthode 2 : Comparer des normes

• Une norme $\|\cdot\|_1$ sur $\rm E$ est dominée par une norme $\|\cdot\|_2$ s’il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|_1\leq \alpha \|x\|_2$
• Deux normes $\mathrm{\|\cdot\|_1}$ et $\mathrm{\|\cdot\|_2}$ sur $\mathrm{E}$ sont équivalentes si chacune est dominée par l’autre : il existe $\mathrm{\alpha,~\beta>0}$ tels que pour tout $x\in \rm E$, $\alpha \|x\|_2 \leq \|x\|_1\leq \beta \|x\|_2$

Théorème :

Sur un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, les normes sont deux à deux équivalentes.

Théorème :

Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes qui ont même limite pour les deux normes.

Remarque :

On peut montrer que deux normes ne sont pas équivalentes en trouvant une suite convergente pour une norme mais divergente pour l’autre ou une suite qui converge pour ces deux normes mais vers des limites différentes.

Rappel :

$\rm (u_n)_{n\in\mathbb N}$ suite d’éléments de $\rm E$ converge vers $\mathrm{l}$ si $\rm \|u_n-l\|\longrightarrow_{n\to +\infty}0$ avec $\|\cdot\|$ norme sur $\rm E$.

Soit $\mathrm{E}$ un $\mathbb K$-espace vectoriel normé avec $\mathrm{\mathbb K=\mathbb R}$ ou $\mathrm{\mathbb C}$.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{U}$ est un ouvert de $\bf{E}$

• Utiliser la définition :

Une partie $\rm U$ de $\rm E$ est un ouvert de $\rm E$ si elle est voisinage de chacun de ses points c’est-à-dire : pour tout $\mathrm{a\in U}$, il existe $\alpha>0$ tel que $\mathrm{B(a,\alpha)\subset U}$.

Rappel :

$$\mathrm{B(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|<\alpha\}$$

• Reconnaître des ouverts connus :

• $\emptyset$ et $\rm E$ sont des ouverts de $\rm E$
• Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles ouverts sont des ouverts de $\mathrm{E}$
• Dans $\mathbb R^2$, le produit cartésien de deux intervalles ouverts de $\mathbb R$ est un ouvert de $\mathbb R^2$
• Une boule ouverte $\mathrm{B(a,\alpha)}$ est un ouvert

• Utiliser les propriétés :

• Une réunion (finie ou infinie) de parties ouvertes est une partie ouverte.
• Une intersection finie de parties ouvertes est une partie ouverte.

Méthode 2 : Montrer que $\bf F$ est un fermé de $\bf E$

• Utiliser la définition :

Une partie $\mathrm{F}$ de $\mathrm{E}$ est un fermé de $\mathrm{E}$ si son complémentaire est un ouvert.

• Reconnaître des fermés connus :

• $\emptyset$ et $\mathrm{E}$ sont des fermés de $\mathrm{E}$
• Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles fermés sont des fermés de $\mathrm{E}$
• Dans $\mathrm{\mathbb R^2}$, le produit cartésien de deux intervalles fermés de $\mathrm{\mathbb R}$ est un fermé de $\mathrm{\mathbb R^2}$
• Une boule fermée $\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ est un fermé ($\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ $=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|\leq\alpha\})$
• Une sphère est un fermé $(\mathrm{S(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\mathrm a\|=\alpha\})$

• Utiliser les propriétés :

• Une intersection (finie ou infinie) de parties fermées est une partie fermée.
• Une réunion finie de parties fermées est une partie fermée.

• Utiliser les suites :

Théorème :

Soit $\mathrm{F}$ partie de $\mathrm{E}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $\mathrm{F}$ est fermée
2. Pour toute suite $(x_{\rm n})\in \mathrm F^{\mathbb N}$ telle que $x_{\rm n}\to \rm a$, alors $\mathrm{a\in F}$

On dit qu’une partie fermée contient les limites de ses suites convergentes.

Méthode 3 : Utiliser la continuité

Soit $f : \rm X\subset E\to F$.

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est continue
• L’image réciproque de chaque ouvert de $\mathrm{F}$ est un ouvert relatif à $\rm X$
• L’image réciproque de chaque fermé de $\mathrm{F}$ est un fermé relatif à $\rm X$

Remarque :

Un ouvert relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{U\cap X}$ avec $\mathrm{U}$ ouvert de $\mathrm{E}$. Un fermé relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{F\cap X}$ avec $\mathrm{F}$ fermé de $\mathrm{E}$.

Théorème :

Soient $f, g : \rm E\to F$ continues.

Si $f$ et $g$ sont égales sur une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ dense, alors $f=g$.

Remarque :

Une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ est dense si $\mathrm{\bar{X}=E}$ avec $\mathrm{\bar{X}}$ l’adhérence de $\mathrm{X}$.

Soit $\mathrm{K}$ partie de $\mathrm{E}$.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{K}$ est un compact

• Utiliser la définition :

$\mathrm{K}$ est un compact de $\mathrm{E}$ si toute suite d’éléments de $\mathrm{K}$ possède au moins une valeur d’adhérence dans $\mathrm{K}$ c’est-à-dire pour tout $\mathrm{(u_n)\in K^{\mathbb N}}$, il existe $\mathrm{\varphi:\mathbb N\to \mathbb N}$ strictement croissante telle que $\mathrm{u_{\varphi(n)}\to l\in K}$.

Remarques :

• $\mathrm{(u_{\varphi(n)})}$ est une suite extraite de $\mathrm{\mathrm{(u_n)}}$.
• Toute suite bornée d’éléments de $\mathbb K$ admet au moins une valeur d’adhérence.

• Reconnaître des compacts connus :

• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb R}}$, les intervalles $\mathrm{\mathrm{[a,b]}}$ sont des compacts.
• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb C}}$, les ensembles $\mathrm{\mathrm{\{z\in\mathbb C/|z|\leq R\}}}$ sont des compacts.

• Utiliser les propriétés sur les compacts :

• Toute partie compacte est fermée et bornée.
• Une intersection de deux parties compactes est un compact.
• Une réunion de deux parties compactes est un compact.

Soient $\mathrm{K_1}$ et $\mathrm{K_2}$ deux parties compactes des espaces normés $\mathrm{E_1}$ et $\mathrm{E_2}$.
$\mathrm{K_1\times K_2}$ est une partie compacte de $\mathrm{E_1\times E_2}$.

• Utiliser la dimension finie :

Théorème :

En dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Méthode 2 : Utiliser les conséquences de la compacité

Théorème 1 :

Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.

Théorème 2 :

Un sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé.

Théorème 3 :

L’image d’une partie compacte par une application continue est une partie compacte.

Théorème 4 :

Toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes.

Théorème de Heine :

Soit $f : \rm K\subset E\to F$.
Si $\mathrm{K}$ est une partie compacte et si $f$ est continue, alors $f$ est uniformément continue.

Remarque :

Une application $f : \rm K\subset E\to F$ est uniformément continue si pour tout $\epsilon >0$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tous $x,y\in \rm K$, $\|y-x\|_\mathrm E\leq \alpha \Rightarrow \|f(y)-f(x)\|_\rm F\leq \epsilon$.