Calcul différentiel

Méthode 1 : Etudier la dérivation

Dans toute la suite, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

a) Dérivabilité en un point.

La fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$ de l'intervalle $I$ si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $x \rightarrow x_0$.

On pose $h=x-x_0$ et donc $x = x_0+h$. Alors $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x_0+h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $h \rightarrow 0$.

Cette limite se note $f'(x_0)$ et s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $x_0$. Il est égal à la pente de la tangente en $x_0$.

b) Dérivabilité sur un intervalle.

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout point de cet intervalle.

Remarque : soit $f:[a,b] \rightarrow {\Bbb R}$. Soit $c \in ]a,b[$. Si $f$ est dérivable sur $[a,c]$ et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ alors $f$ n'est pas forcément dérivable sur la réunion $[a,c] \cup [c,b] = [a,b]$.

Car dire que $f$ est dérivable sur $[a,c]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à gauche de $c$ c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^-$.

Et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à droite de $c$ c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^+$.

Mais les deux limites ne sont pas forcément les mêmes de sorte que $f$ n'est pas forcément dérivable en $c$.

Théorème : la dérivabilité implique la continuité.

La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur ${\Bbb R}$ mais pas dérivable sur ${\Bbb R}$ car par dérivable en $0$.

c) Comment étudier la continuité/dérivabilité d'une fonction définie par morceaux ?

Par exemple : étudions la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \exp\left(- \frac{1}{x^2}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$.

• Sur ${\Bbb R}^*$, la fonction est la composée de la fonction exponentielle (dérivable sur ${\Bbb R}$) et de la fonction $x \mapsto 1/x^2$ (dérivable sur ${\Bbb R}^*$) donc par composition $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$
• Ensuite on étudie la dérivabilité au point $0$. Le taux de variation est $\displaystyle \Delta(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $=\displaystyle \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x}$ $\displaystyle\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$
  On effectue le changement de variable $\displaystyle{y = \frac{1}{x}}$. On a alors $\Delta(x) = ye^{-y^2}$. Lorsque $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $\pm \infty$. Par croissance comparée, $\Delta(x)$ tend vers $0$ donc la fonction $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$ (la limite du taux de variation).
• Synthèse : $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$ et $f$ est dérivable en $0$ donc $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}$.

d) Inégalité des accroissements finis.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que la dérivée soit bornée c'est-à-dire il existe $k\ge0$
tel que $\forall t \in I$, $|f'(t)| \le k$. Alors pour tout $(x,y)$ dans $I^2$, $|f(x)-f(y)| \le k \le|x-y|$.

Ce théorème est notamment utilisé pour étudier certaines suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

Méthode 2 : Etudier des dérivées successives

a) Dérivées successives

$n$ est un entier naturel non nul. Une fonction $f$ est $n$-fois dérivable si $f$ est dérivable $n-1$ fois et la dérivée d'ordre $n-1$ notée $f^{(n-1)}$ est dérivable. Dans ce cas, la dérivée d'ordre $n$ (ou la dérivée $n$-ème) est $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$.

Par convention, $f^{(0)}=f$.

Exemple : $f$ est $2$-fois dérivable signifie que $f$ est dérivable et $f'$ est dérivable.

Remarque : la définition est une définition par récurrence.

Exemple : Une formule à connaître ou à savoir à retrouver. On pose $f(x) =x^n$.

La dérivée d'ordre $k$ de $f$ est $f^{(k)}(x) = n(n-1) \ldots (n-k+1) x^{n-k}$ $= \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$ si $k \le n$ et $f^{(k)}(x)=0$ si $k>n$ (lorsqu'on dérive un polynôme un nombre de fois strictement plus grand que son degré, on obtient la fonction nulle).

b) La classe $C^n$.

Définition : on dit qu'une fonction est de classe $C^1$ si $f$ est dérivable et la dérivée $f'$ est continue.

Soit $n$ un entier non nul. On définit plus généralement $f$ est de classe $C^n$ si $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ est dérivable.

$f$ est de classe $C^0$ signifie que $f$ est continue.

$f$ est de classe $C^{\infty}$ signifie que $f$ est de classe $C^n$ pour tout entier $n$, cela est équivalent à dire que $f$ est $n$ fois dérivable pour tout entier $n$. On dit alors que $f$ est une infiniment dérivable.

Notons $C^n$ est de classe $C^n$ et $D^n$ est $n$ fois dérivable. On a les implications suivantes :

$f$ est $C^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $C^{n}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{n}$ $\Rightarrow$ $\ldots$ $\Rightarrow$ $f$ est $C^{2}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{2}$ $\Rightarrow$ $f$ est $C^{1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{1}$ (c'est-à-dire $f$ est dérivable) $\Rightarrow$ $f$ est $C^{0}$ ($f$ est continue).

Plus on va vers la droite de cette chaîne d'inclusions et plus la fonction est irrégulière.

Méthode 3 : Etudier les fonctions convexes

a) Etudier des fonctions convexes dans le cas général

Soit $f : \rm I \to \mathbb R$

• $f$ est convexe si elle vérifie :
  

Pour tous $\rm a,b\in I$, pour tout $\lambda \in [0 ~;1]$, $f((1\mathrm{-\lambda)a+\lambda b)} \leq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$

• $f$ est concave si elle vérifie :
  

Pour tous $\rm a, b\in I$, pour tout $\lambda \in [0~ ;1]$, $f((1-\lambda)\mathrm{a+\lambda b)} \geq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$

• $f$ est convexe si et seulement si l’épigraphe de $f$ est convexe.
  

Remarques :

• Epigraphe $=\mathrm{Epi}(f)$ $= \{(x, y)\in\mathbb R^2/x\in \mathrm I$ $\quad$ et $\quad$ $f(x) \leq y\}$
• Une partie $\rm A$ de $\rm E$ est convexe si pour tous $\rm a,b\in A$, $\rm [a,b] \subset A$.

b) Etudier des fonctions convexes dérivables

• Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable. Il y a équivalence entre :
  

• $f$ est convexe
• $f’$ est croissante
• $f’’>0$ (si $f$ est deux fois dérivable).

• Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Si $f$ est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.