1) Matrice rectangulaire

Une matrice de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$ est un tableau à $\rm n$ lignes et $\rm p$ colonnes d'éléments appartenant à ${\Bbb K}$.

Une matrice de taille $\rm n \times p$ se note $\rm A=(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$ ou de façon "développée" :

$\rm A=\left(\begin{array}{ccccc}
\rm a_{1,1} & & \ldots & & \rm a_{1,p}\\
& & & & \\
\vdots & & \rm a_{i,j} & & \vdots \\
& & & & \\
\rm a_{n,1} & & \ldots & & \rm a_{n,p}
\end{array}\right)$.

$\rm a_{i,j}\in {\Bbb K}$ désigne le coefficient de la matrice $\rm A$ situé à la ligne $\rm i$ et la colonne $\rm j$.

$\rm M_{n,p}({\Bbb K})$ désigne l'ensemble des matrices de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$.

2) Multiplication matricielle :

Soit $\rm A = (a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$ un élément de $\rm M_{n,p}({\Bbb K})$.

Soit $\rm B = (b_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq p}{_{1 \leq j \leq q}}}$ un élément de $\rm M_{p,q}({\Bbb K})$.

On définit $\rm C=A \times B$ de la façon suivante :

$\rm C \in M_{n,q}({\Bbb K})$ autrement dit $\rm C$ est une matrice de taille $\rm n \times q$. Les coefficients de la matrice $\rm C$ sont définies par :

$\displaystyle\rm \forall (i,j) \in\left\{1,\ldots,n\right\}\times\left\{1,\ldots,q \right\} c_{i,j}$ $\displaystyle\rm =\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$ $\rm = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \ldots + a_{i,p}b_{p,j}$.

Pour se rappeler de cette formule, on dispose la matrice $\rm A$ en bas à gauche et la matrice $\rm B$ en haut à droite.

Le coefficient $\rm c_{i,j}$ est situé à l'intersection de la ligne $\rm i$ de la matrice $\rm A$ et de la colonne $\rm j$ de la matrice $\rm B$. Pour se remémorer la formule, il faut prendre les coefficients de la matrice $\rm A$ qui sont sur la même ligne que $\rm c_{i,j}$ et les coefficients de la matrice $\rm B$ qui sont sur la même colonne que $\rm c_{i,j}$.

Par ailleurs la taille de la matrice $\rm C$ est imposée par la disposition ci-dessus.

En effet, on observe que le nombre de lignes de la matrice $\rm C$ est égal au nombre de lignes de la matrice $\rm A$ et le nombre de colonnes de la matrice $\rm C$ est égal au nombre de colonnes de la matrice $\rm B$.

Exemple :

Soient $\rm A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right)$
et
$\rm B=\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 2 & -1 & 2 \\
5 & 2 & 0 & -1
\end{array}\right)$.

Il n'est pas possible de calculer $\rm B \times A$ car le nombre de colonnes de $\rm B$ n'est pas égal au nombre de lignes de $\rm A$.

Il est possible de calculer $\rm A \times B$ car $(3 \times 2) \times (2 \times 4) \rightarrow 3 \times 4$.

On obtient :

$\rm A \times B =\left(\begin{array}{cccc}
11 & 6 & -2 & 3\\
5 & 2 & 0 & -1 \\
14 & 8 & -3 & 5
\end{array}\right)$.

3) Méthodes pour calculer $\bf A^p$ quand $\bf A$ est une matrice carrée.

a) On calcule les premières puissances de $\bf A$ et on conjecture une formule générale que l'on montre par récurrence.

Exemple : posons $\rm E$ la matrice carrée d'ordre $\rm n$ remplie de $1$.

Alors $\rm E^2 = nE$. Donc $\rm E^3= E^2 \times E = nE^2 = n^2E$.

On conjecture que $\rm E^{p} = n^{p-1}E$ ; on montre cette formule par récurrence sur $\rm p$.

Attention cette formule n'est valable que pour $\rm p \geq 1$ car par définition $\rm E^{0}=I$ (=la matrice identité ou unité = la matrice diagonale de coefficient $1$).

b) On décompose $\bf A$ et on utilise la formule du binôme de Newton.

Remarque si $\rm A$ et $\rm B$ sont des matrices carrés d'ordre $\rm n$ (c'est-à-dire le nombre de lignes = nombre de colonnes $= \rm n$), $\rm (A+B)^2 = A^2 + B^2 + AB + BA$.

On ne peut pas simplifier davantage sans hypothèse supplémentaire sur les matrices $\rm A$ et $\rm B$.

Si $\rm A$ et $\rm B$ commutent c'est-à dire si $\rm A \times B = B \times A$ alors on a la théorème suivant (c'est la formule du binôme de Newton pour les matrices) :

$\displaystyle\rm (A+B)^p = \sum_{k=0}^{p}$ $
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\ \rm k\end{array} \right)\rm A^kB^{p-k}$.

L'idée est de décomposer $\rm A = A_1 + A_2$ avec $\rm A_1$ et $\rm A_2$ des matrices qui commutent. On peut alors utiliser la formule du binôme de Newton :

$\displaystyle \rm (A_1+A_2)^p = \sum_{k=0}^{p}
\left(\begin{array}{c}
p\\
k\end{array}\right)
A_1^kA_2^{p-k}$.

On espère ensuite que le calcul des puissances $\rm A_1^k$ et $\rm A_2^{p-k}$ soient simples afin de calculer la somme.

Les matrices dont les puissances sont simples à calculer sont par exemple :

les matrices diagonales
les matrices nilpotentes qui sont définies ci-dessous

En effet, pour les matrices diagonales, on a :

Si $\rm D = {\rm diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, alors, pour tout $\rm p \in {\Bbb N}$ : $\rm D^p = {\rm diag}(\alpha_1^p,\ldots,\alpha_n^p)$.

Une matrice nilpotente est une matrice $\rm A$ de $\rm M_n({\Bbb K})$ telle qu'il existe un entier $q$ tel que $A^{q}=0$.

Exemple :

Calculer $\rm A^p=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)^p$ pour tout $\rm p \in {\Bbb N}$.

Décomposons la matrice :

$\rm A = \underbrace{\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)}_{=D} + \underbrace{\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)}_{=N}$.

Nous avons décomposé $\rm A$ en la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice dont on montrera qu'elle est nilpotente.

Vérifions que $\rm D$ et $\rm N$ commutent. On a :

$\rm DN = ND = \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)$.

Donc on peut utiliser la formule du binôme de Newton :

$\displaystyle \rm A^p = (D+N)^p = \sum_{k=0}^p
\left(\begin{array}{c}
p\\
k\end{array}\right)
D^{p-k}N^{k}$.

Par puissance d'une matrice diagonale, on a :

$\rm D^{p-k} = \left(\begin{array}{ccc}
3^{\rm p-k} & 0 & 0\\
0 & 2^{\rm p-k} & 0 \\
0 & 0 & 3^{\rm p-k}
\end{array}\right)$.

Par ailleurs, un calcul donne $\rm N^2=0_{M_3({\Bbb R})}$ donc $\rm N$ est une matrice nilpotente. On en déduit que $\rm N^{k}=0_{M_3({\Bbb R})}$ dès que $\rm k\geq2$.

Découpons la somme en deux parties :

$\displaystyle \rm A^p = \sum_{k=0}^{1}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k\end{array}\right)$ $\displaystyle \rm D^{p-k}N^{k} + \sum_{k=2}^{p}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k \end{array}\right)$ $\rm D^{p-k}\underbrace{N^{k}}_{=(0)}$.

On a donc $\displaystyle \rm A^p = \sum_{k=0}^{1}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k \end{array}\right)
D^{p-k}N^{k}$

Attention : ce n'est pas parce que la somme s'arrête à $\rm k=1$ que $\rm p=1$ !! $\rm p$ reste $\rm p$ !!

On a :

$\rm A^p =
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
0\end{array}\right)$ $\rm D^{p-0}N^{0} + \left(\begin{array}{c}
\rm p\\
1\end{array}\right)$ $\rm D^{p-1}N^{1}$ $\rm = D^pI_3 + p D^{p-1}N$ $\rm = D^p + p D^{p-1}N$

Donc $\scriptstyle \rm A^p = \left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle 3^{\rm p} & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 0\\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 2^{\rm p} & \scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 3^{\rm p}
\end{array}\right) \scriptstyle + \rm p\left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle 3^{\rm p-1} & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 0\\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 2^{\rm p-1} & \scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 3^{\rm p-1}
\end{array}\right)$ $\scriptstyle \left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 2\\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle 0 & \scriptstyle 0
\end{array}\right)$.

Après calcul, on obtient :

$\rm A^p = \left(\begin{array}{ccc}
3^{\rm p} & 0 & \rm 2p3^{p-1}\\
0 & \rm 2^p & 0 \\
0 & 0 & \rm 3^p
\end{array}\right)$

Test de cohérence :

Pour $\rm p=0$, on retrouve bien la matrice $\rm I_3$
Pour $\rm p=1$, on retrouve bien la matrice $\rm A$

c) On utilise un polynôme annulateur et un division euclidienne.

Soit $\rm P$ un polynôme annulateur de la matrice $\rm A$ c'est-à-dire un polynôme vérifiant $\rm P(A)=0$. On effectue la division euclidienne de $\rm X^p$ par $\rm P$ : il existe une unique couple de polynômes $\rm (Q,R)$ tel que $\rm X^p = Q(X)P(X) + R(X)$ avec le degré de $\rm R <$ au degré de $\rm P$.

En remplaçant $\rm X$ par $\rm A : A^p = Q(A)P(A) + R(A) = R(A)$ car $\rm P(A)=0$.

4) Calcul de l'inverse d'une matrice

a) Définition

Une matrice carrée $\rm A$ de $\rm M_n({\Bbb K})$ est inversible s'il existe une matrice $\rm B \in M_n({\Bbb K})$ tel que $\rm A \times B = I_n $.

Dans ce cas, $\rm B$ s'appelle l'inverse de $\rm A$ et se note $\rm A^{-1}$.

On note $\rm GL_n({\Bbb K})$ l'ensemble des matrices inversibles de $\rm M_n({\Bbb K})$.

Remarque : si $\rm A \times B = I_n$ alors nécessairement $\rm B \times A =I_n$.

Théorème : une matrice est inversible si et seulement son rang est égal à son ordre (c'est-à-dire au nombre de lignes = nombre de colonnes).

b) Méthode pour inverser une matrice

On écrit le système $\rm (S) : AX=Y$ d'inconnue $\rm X$ et de second membre $\rm Y$
On le résout à l'aide de la méthode du pivot de Gauss
On détermine en cours de route le rang de la matrice. Si le rang est maximum, la matrice est inversible. On peut continuer la résolution du système $\rm (S)$
On obtient l'expression de $\rm X$ en fonction de $\rm Y$ : $\rm X = A^{-1}Y$. La lecture des coefficients devant les $y_i$ fournit les coefficients de la matrice inverse $\rm A^{-1}$

Exemple :

$\rm A = \left(
\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & -2
\end{array}
\right)$.

On considère donc le système :

$\rm(S) \left\{\begin{array}{ccccccc}
-x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & y_1 \\
2x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & y_2 \\
3x_1 & & & - &2x_3 & = & y_3
\end{array}\right.$

On utilise la méthode du pivot de Gauss sur :

$\left(
\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1 \\
2 & 1 & -1 & y_2\\
3 & 0 & -2 & y_3
\end{array}
\right)$.

On effectue les opérations : $\rm L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow L_3 + 3L_1$ :

$\left(
\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1\\
0 & 5 & 5 & y_2+2y_1\\
0 & 6 & 7 & y_3+3y_1
\end{array}
\right)$.

Puis l'opération $\rm L_3 \leftarrow 5L_3-6L_2$ :

$ \left(
\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1\\
0 & 5 & 5 & y_2+2y_1\\
0 & 0 & 5 & 3y_1 -6y_2 + 5y_3
\end{array}
\right)$.

Le rang de la matrice est $3$ car il y a $3$ pivots dans la matrice est inversible.

Le système linéaire correspondant est :

$\rm (S) \left\{\begin{array}{ccccccc}
-x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & y_1 \\
& & 5x_2 & - & 5x_3 & = & 2y_1 + y_2 \\
& & & &5x_3 & = & 3y_1 -6y_2 + 5y_3
\end{array}\right.$

On en déduit que $\displaystyle x_3= \frac{3}{5}y_1 - \frac{6}{5}y_2 + y_3$ puis en remontant les équations : $\displaystyle x_2 = -\frac{1}{5}y_1 + \frac{7}{5}y_2 - y_3$ puis $\displaystyle x_1 = \frac{2}{5}x_1 - \frac{4}{5}x_2 + y_3$

On a donc :

$\left\{\begin{array}{ccccccc}
x_1 & = & \displaystyle \frac{2}{5}x_1 & - & \displaystyle \frac{4}{5}x_2 & +& y_3 \\
x_2 & = & -\displaystyle \frac{1}{5}y_1 & + & \displaystyle \frac{7}{5}y_2 & - & y_3 \\
x_3 & = & \displaystyle \frac{3}{5}y_1 & - & \displaystyle \frac{6}{5}y_2 & +& y_3\end{array}\right.$

On en déduit que :

$\rm A^{-1} = \left(
\begin{array}{rrr}
2/5 & -4/5 & 5/5\\
-1/5 & 7/5 & -5/5\\
3/5 & -6/5 & 5/5\end{array}
\right)$ $= \displaystyle \frac{1}{5}\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -4 & 5\\
-1 & 7 & -5\\
3 & -6 & 5
\end{array}
\right)$

On vérifie que $\rm AA^{-1}=I_3$ ou plus simplement pour ne pas s’embarrasser avec les fractions que :

$\rm A \times (5A^{-1})$ $= \left(\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & -2
\end{array}
\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}2 & -4 & 5\\
-1 & 7 & -5\\
3 & -6 & 5
\end{array}\right) = \rm 5I_3$.

Autre méthode : on connaît un polynôme annulateur de $\rm A$. Dans ce cas, on essaie d'isoler $\rm I_n$ dans la relation si c'est possible.

Par exemple, supposons que $\rm A$ vérifie la relation $\rm 4A^2-A+3I=0$ autrement dit le polynôme $\rm P(X) = 4X^2-X+3$ est un polynôme annulateur.

On isole $\rm I$ dans la relation : $\rm 3I = -4A^2+A$ donc $\rm I = -\displaystyle \rm \frac{4}{3}A^2 + \frac{1}{3}A$ $\displaystyle \rm = A \times \frac{1}{3}\left(-4A+I\right)$.

On en déduit que $\rm A$ est inversible et que $\displaystyle \rm A^{-1} = \frac{1}{3}\left(-4A+I\right)$.

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