Compléments sur les espaces vectoriels

1) Application linéaire (A.L)

a) Comment montrer qu'une application est linéaire ?

• On utilise la définition : $f:E \rightarrow F$ est linéaire si $\forall (x,y) \in E^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $f(\lambda x + y ) = \lambda f(x) + f(y)$.

• On utilise le fait qu'une C.L ou la composées d'applications linéaires est encore linéaire.
  

Par exemple, si on sait que $f$ et $g$ sont linéaires alors : $f-5g + f \circ g$ est aussi linéaire. 

• Si $f$ n'envoie pas le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée alors $f$ n'est pas linéaire. 
  

b) Vocabulaire

• Un endomorphisme est une A.L de $E$ dans $E$ (le préfixe grec "endo" signifie à "l'intérieur de" ; on reste à l'intérieur de $E$).
• Un isomorphisme est une A.L de $E$ dans $F$ bijective. 
• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. 

2) Somme et somme directe

a) Définition 

Soit $E$ un ${\Bbb K}$-ev. Soient $F$ et $G$ deux sev de $E$. 

La somme de $F$ et $G$ est la partie de $E$ définie par : $F+G = \{x+y \mid x \in F \mbox{ et }y \in G\}$

$z\in F+G \iff$ il existe $x\in F$ et $y\in G$ tel que $z=x+y$. 

b) Somme directe

La somme précédente est dite directe si par définition la décomposition de tous les vecteurs $z=x+y$ dans $F+G$ est UNIQUE. Elle se note $F \oplus G$.

Remarque : la notation $F \oplus G$ désigne la même chose que $F+G$ mais elle apporte l'information supplémentaire que la somme est directe. 

Théorème : 

• $F+G$ est un sev de $E$
• $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$. 

c) Sous-espaces vectoriels supplémentaires :

Définition : 

Soient $F$ et $G$ deux sev d'un ${\Bbb K}$-ev $E$.

$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E=F \oplus G$.

Autrement dit: $F$ et $G$ sont supplémentaires si

• $F$ et $G$ sont en somme directe

et

• $F+G=E$

Remarque : ne pas confondre SOMME DIRECTE et SUPPLÉMENTAIRE

Si deux sev sont supplémentaires alors ils sont en somme directe mais la réciproque est fausse. 

Exemple :

Dans l'espace vectoriel ${\Bbb R}^3$, on considère la droite $F = {\rm vect}((1,0,0))$ et la droite $G = {\rm vect}((0,1,0))$. 

On a $F\cap G = \{(0,0,0)\}$ donc $F$ et $G$ sont en somme directe. 

Mais $F+G=$ le plan horizontal $(xOy) \neq {\Bbb R}^3$ donc $F$ et $G$ ne sont pas des sev supplémentaires dans ${\Bbb R}^3$.

d) Comment montrer que deux sev sont supplémentaires ?

1ère méthode :

On utilise la définition en 2 étapes à savoir 

• 1ère étape) on montre que $F$ et $G$ sont en somme directe en utilisant le théorème sur l'intersection $F \cap G$.
• 2ème étape) on montre que $F+G=E$. Pour cela, on montre seulement l'inclusion $E \subset F+G$ (car $F+G \subset E$ est toujours vraie). 

2ème méthode :

On utilise la définition en une étape à savoir : $\forall z \in E$ il existe un unique couple $(x,y) \in F\times G$ tel que $z = x+y$

Cela revient à résoudre un système linéaire d'inconnues $x$ et $y$ de second membre $z$ et de montrer que ce système admet une unique solution.

Exemple :

Plaçons nous dans $E={\Bbb R}^3$. On considère le plan vectoriel $F = \{(x,y,z)\in {\Bbb R}^3 \mid x-y+z=0\}$ et la droite vectorielle $G = {\rm vect}\left((1,2,3)\right)$.

Soit $w=(x,y,z) \in {\Bbb R}^3$. 

On considère le système $w = u + v$ d'inconnues $u \in F$ et $v \in G$.

Précisons le système. On a $u=(\alpha,\beta,\gamma) \in F \iff \alpha-\beta+\gamma=0$ et $v \in G \iff v = \lambda.(1,2,3)$. 

On a donc $(x,y,z) = (\alpha,\beta,\gamma) + (\lambda,2\lambda,3\lambda)$ et $\alpha-\beta+\gamma=0$.

Soit par identification des coordonnées :

$\left\{ \begin{array}{lll}  x & = & \alpha + \lambda \\  y & = & \beta + 2\lambda \\  z & = & \gamma + 3\lambda \\ 0 & = & \alpha-\beta+\gamma \end{array} \right.$

Attention : les inconnues sont $\alpha,\beta, \gamma$ et $\lambda$ et non $x$, $y$ et $z$ !

Après calcul, on trouve :

$\left\{ \begin{array}{lll} \alpha & = & \displaystyle \frac{1}{2}(x+y-z) \\ \beta & = & -x +2y -z \\ \gamma & = & -\displaystyle \frac{1}{2}(3x-3y+z) \\ \lambda & = & \displaystyle \frac{1}{2}(x-y+z) \end{array} \right.$

Comme le système admet une unique solution, on peut en déduire que $F$ et $G$ sont des sev supplémentaires dans ${\Bbb R}^3$.

Les calculs précédents permettent en prime d'obtenir l'unique décomposition du vecteur $(x,y,z)$ dans la $F \oplus G$.

On a $\displaystyle u=\left(\frac{1}{2}(x+y-z),-x +2y -z,-\frac{1}{2}(3x-3y+z)\right)$
$u =\displaystyle \frac{1}{2}$ $(x+y-z,-2x+4y-2z,-3x+3y-z).$

et 

$\displaystyle v = \lambda.(1,2,3) = \frac{1}{2}(x-y+z)(1,2,3)$.

Donc l'unique décomposition du vecteur $u=(x,y,z)$ s'écrit $\displaystyle (x,y,z) = \frac{1}{2}(x+y-z,-2x+4y-2z,-3x+3y-z)+ \frac{1}{2}(x-y+z)(1,2,3).$

On peut vérifier que la somme des deux vecteurs donne bien $(x,y,z)$. 

3ème méthode :

Même méthode que précédemment mais au lieu de résoudre le système, on procède par un raisonnement pas analyse-synthèse. 

On veut montrer que $E =F \oplus G$. Le raisonnement par Analyse-Synthèse se déroule en deux étapes :

• Une première étape appelée ANALYSE consiste à supposer qu'on a $E = F + G$ c'est-à-dire que tout vecteur $z \in E$ se décompose en $z = x + y$ avec $x \in F$ et $y \in G$.
  

De l'égalité $z = x + y$, on en déduit une expression de $x$ et $y$ en fonction de $z$. Ces expressions étant uniques, on en déduit que la décomposition est unique.

À ce stade, nous avons montré que :

Si la décomposition existe alors elle est unique. 

• Une deuxième étape appelée SYNTHÈSE consiste à prouver que la décomposition de tout vecteur de $E$ existe bien.

On prend un vecteur $z$ quelconque de $E$. On définit $x$ et $y$ en prenant les expressions trouvées dans l'analyse.

On vérifie que :

1. $x + y$ est bien égal à $z$
2. $x$ appartient bien à $F$
3. $y$ appartient bien à $G$

À ce stade, nous avons montré que :

La décomposition de tout vecteur existe.

Finalement, l'analyse-synthèse permet d'affirmer que tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique dans la somme $F+G$.

Exemple :

Dans l'espace vectoriel $E = {\mathcal F}({\Bbb R},{\Bbb R})$ des fonctions définies sur ${\Bbb R}$, on définit : $P$ l'ensemble des fonctions paires et $I$ l'ensemble des fonctions impaires

On montre que $P$ et $I$ sont des sev de $E$.

Nous allons prouver par ANALYSE-SYNTHÈSE que ${\mathcal F}({\Bbb R},{\Bbb R}) = I \oplus P$.

• ANALYSE : Soit $f \in E$. Supposons qu'il existe $g \in I$ et $h \in P$ tel que $f = g + h$.
  

Alors pour tout réel $x$: $f(x) = g(x) + h(x)$. Donc $f(-x) = g(-x) + h(-x)$.

Sachant que $g$ est paire et $h$ est impaire, on obtient ainsi le système :

$\left\{ \begin{array}{lll} f(x) & = & g(x) + h(x)\\ f(-x) & = & -g(x) + h(x) \end{array} \right.$ d'inconnue $g$ et $h$.

On obtient par addition et soustraction des lignes précédentes :

$\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right] \mbox{ et }g(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]$.

On a donc montré que SI la décomposition $f=g+h$ existe ALORS nécessairement $h$ doit être de la forme $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right]$ et $g$ doit être de la forme $\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]$.

Cela prouve que SI la décomposition existe ALORS cette décomposition est unique

• SYNTHÈSE : soit $f$ dans $E$.
  

On définit la fonction $h$ par $\forall x \in {\Bbb R}, h(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right]$ et la fonction $g$ par $\forall x \in {\Bbb R}, g(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]$

On vérifie que $g+h = f$. $\forall x \in {\Bbb R}$, $\displaystyle g(x) + h(x) = \frac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right] + \frac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right] = f(x).$

On a donc bien $g+h = f$.

On vérifie que la fonction $h$ est paire. $\forall x \in {\Bbb R}$, $\displaystyle h(-x) = \frac{1}{2}\left[f(-x)+f(x)\right] = h(x)$. Donc $h \in P$.

On vérifie que la fonction $g$ est impaire.

$\forall x \in {\Bbb R}$, $\displaystyle g(-x) = \frac{1}{2}\left[f(-x)-f(x)\right] = -g(x)$. Donc $g \in I$.

On a donc prouvé l' existence de la décomposition de $f$.

Par ailleurs, la décomposition s'écrit :

$\begin{array}{ll} E  = I \oplus P\\ f  =  \left(x \mapsto \displaystyle \frac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]\right)\\ +  \left(x \mapsto \displaystyle \frac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right]\right) \end{array}$

4ème méthode (uniquement en dimension finie) :

• On montre que $F$ et $G$ sont en somme directe.
• On montre que $\dim(F) + \dim(G) = \dim(E)$.
  

(En effet, on a $\dim(F + G) = \dim(F \oplus G) = \dim(F) + \dim(G)$ car la somme est directe. Donc $\dim(F + G)= \dim(E)$ et comme $F+G \subset E$ (inclusion toujours vraie), $F+G = E$).