1) Savoir factoriser un polynôme
Théorème à connaître :
- Dans R : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré 1 et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant <0.
Exemple : X3−1=(X−1)(X2+X+1) est la factorisation dans R[X]. Le trinôme X2+X+1 n'est pas plus factorisable dans R[X].
2) Méthode
Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré).
a) La méthode consiste à chercher une racine évidente a puis à factoriser le polynôme P par X−a à l'aide de la division euclidienne.
Exemple : P(X)=X3−1 a une racine évidente qui est 1. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)=(X−1)Q(X).
On détermine le polynôme Q par division euclidienne :
Ensuite, on cherche une racine évidente b de Q donc Q(X)=(X−b)S(X) et donc P(X)=(X−a)(X−b)S(X). Puis on cherche une racine évidente de S etc...
b) Penser aux identités remarquables.
Exemple :
X4−1=(X2)2−1=(X2−1)(X2+1)=(X−1)(X+1)(X2+1) dans R[X].
Autre exemple : X4+1 se factorise dans R[X] d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré 2 car il n'a pas de racine dans R.
On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable.
X4+1=(X2)2+1=(X2+1)2−2X2=(X2+1)2−(√2X)2=(X2+1−√2X)(X2+1+√2X). On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans R[X].
3) Racines multiples
Définition : Soit P∈R[X]. Soit a∈R. Soit k∈N∗.
- On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (X−a)k divise P c'est-à-dire P(X)=(X−a)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
- On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (X−a)k divise P et si (X−a)k+1 ne divise pas P.
Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(X−a)kQ(X) et Q(a)≠0. - On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.
Exemple :
Soit P(X)=3(X2+1)2(X−2). P est un polynôme réel ou complexe.
- 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.
Théorème : caractérisation des racines multiples
Soit a∈R. Soit k∈N∗.
- a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0.
- a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0 et P(k)(a)≠0.