Compléments sur les fonctions usuelles

1) Savoir factoriser un polynôme

Théorème à connaître :

• Dans ${\Bbb R}$ : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré $1$ et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant $< 0$. 

Exemple : $X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$ est la factorisation dans ${\Bbb R}[X]$. Le trinôme $X^2+X+1$ n'est pas plus factorisable dans ${\Bbb R}[X]$.

2) Méthode

Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré).

a) La méthode consiste à chercher une racine évidente $a$ puis à factoriser le polynôme $P$ par $X-a$ à l'aide de la division euclidienne. 

Exemple : $P(X) = X^3-1$ a une racine évidente qui est $1$. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X) = (X-1)Q(X)$. 

On détermine le polynôme $Q$ par division euclidienne :

Ensuite, on cherche une racine évidente $b$ de $Q$ donc $Q(X)=(X-b)S(X)$ et donc $P(X) = (X-a)(X-b)S(X)$. Puis on cherche une racine évidente de $S$ etc...

b) Penser aux identités remarquables. 

Exemple : 

$X^4-1 = (X^2)^2-1 = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ dans ${\Bbb R}[X]$.

Autre exemple : $X^4+1$ se factorise dans ${\Bbb R}[X]$ d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré $2$ car il n'a pas de racine dans ${\Bbb R}$. 

On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable. 

$X^4+1 = (X^2)^2 + 1 = (X^2+1)^2 - 2X^2 = (X^2+1)^2 - (\sqrt{2}X)^2 $$= (X^2+1 - \sqrt{2}X)(X^2+1 + \sqrt{2}X)$. On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans ${\Bbb R}[X]$.

3) Racines multiples 

Définition : Soit $P \in {\Bbb R}[X]$. Soit $a \in {\Bbb R}$. Soit $k \in {\Bbb N}^*$.

• On dit que $a$ est une racine d'ordre au moins $k$ de $P$ si $(X-a)^{k}$ divise $P$ c'est-à-dire $P(X)=(X-a)^kQ(X)$ avec $Q (X)$ un polynôme.
• On dit que $a$ est une racine d'ordre exactement $k$ de $P$ si $(X-a)^{k}$ divise $P$ et si $(X-a)^{k+1}$ ne divise pas $P$.
  Cela revient à dire que $P$ s'écrit $P(X) = (X-a)^{k}Q(X)$ et $Q(a) \neq 0$. 
• On dit aussi que $a$ est une racine de multiplicité $k$.

Exemple :

Soit $P(X)=3(X^2+1)^2(X-2)$. $P$ est un polynôme réel ou complexe.

• $2$ est une racine d'ordre $1$ ou simple de $P$.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit $a \in {\Bbb R}$. Soit $k \in {\Bbb N}^*$.

• $a$ est une racine d'ordre au moins $k$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$.
• $a$ est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement $k$ de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a) \neq 0$.

Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.

• Si $x$ est positif, $f(x)=x$
• Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=\mathrm e^x$

Propriétés : 

• Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
• Pour tout réel $a$, $\displaystyle \mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
• Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$ 
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
• La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$.

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0 ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés : 

• Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
• Pour tout $x\in ]0~ ;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
• La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle\frac{u’(x)}{u(x)}$.

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.