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Compléments sur les fonctions usuelles

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Parcours méthodologique : Polynômes

1) Savoir factoriser un polynôme

Théorème à connaître :

  • Dans R : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré 1 et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant <0

Exemple : X31=(X1)(X2+X+1) est la factorisation dans R[X]. Le trinôme X2+X+1 n'est pas plus factorisable dans R[X].

2) Méthode

Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré).

a) La méthode consiste à chercher une racine évidente a puis à factoriser le polynôme P par Xa à l'aide de la division euclidienne. 

Exemple : P(X)=X31 a une racine évidente qui est 1. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)=(X1)Q(X)

On détermine le polynôme Q par division euclidienne :

Ensuite, on cherche une racine évidente b de Q donc Q(X)=(Xb)S(X) et donc P(X)=(Xa)(Xb)S(X). Puis on cherche une racine évidente de S etc...

b) Penser aux identités remarquables. 

Exemple : 

X41=(X2)21=(X21)(X2+1)=(X1)(X+1)(X2+1) dans R[X].

Autre exemple : X4+1 se factorise dans R[X] d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré 2 car il n'a pas de racine dans R

On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable. 

X4+1=(X2)2+1=(X2+1)22X2=(X2+1)2(2X)2=(X2+12X)(X2+1+2X). On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans R[X].

3) Racines multiples 

Définition : Soit PR[X]. Soit aR. Soit kN.

  • On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (Xa)k divise P c'est-à-dire P(X)=(Xa)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
  • On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (Xa)k divise P et si (Xa)k+1 ne divise pas P.
    Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(Xa)kQ(X) et Q(a)0
  • On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.

Exemple :

Soit P(X)=3(X2+1)2(X2). P est un polynôme réel ou complexe.

  • 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit aR. Soit kN.

  • a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0.
  • a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0 et P(k)(a)0.

Parcours méthodologique : Fonctions usuelles

Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.

  • Si $x$ est positif, $f(x)=x$
  • Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=\mathrm e^x$

Propriétés

  • Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
  • Pour tout réel $a$, $\displaystyle \mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
  • Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$ 
  • $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
  • La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$.

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0 ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés

  • Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
  • Pour tout $x\in ]0~ ;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
  • $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
  • La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle\frac{u’(x)}{u(x)}$.

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.

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