Convergence des suites réelles. Théorèmes fondamentaux

1) Il y a deux théorèmes importants permettant de décider de la nature (c'est-à-dire de la convergence ou de la divergence) d'une suite

On utilise les abréviations suivantes :

CV = converge ou convergente ou convergence

DV = diverge ou divergente divergence

APCR = à partir d'un certain rang

a) Les théorème de l'encadrement :

• Si $v_n \le u_n \le w_n$ APCR et si $(v_n)$ et $(w_n)$ CV vers $l$ alors $(u_n)$ CV vers $l$
• Si $u_n \le w_n$ APCR et si $(w_n)$ DV vers $-\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$
• Si $v_n \le u_n$ APCR et si $(v_n)$ DV vers $+\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$

b) Le théorème de la limite monotone :

• Si $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ CV
• Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$
• Si $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ CV
• Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$

Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite en cas de CV.

2) Autre théorème à connaître : le théorème de passage à la limite qu'il ne faut pas confondre avec le théorème de l'encadrement

Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0$.

Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle \forall n \in {\Bbb N}^*$, $\displaystyle \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0$ n'est pas strictement positive !

3) Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel

• Si $q >1$ alors $(q^n)$ DV vers $+\infty$
• Si $q=1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc CV vers $1$
• Si $-1 < q < 1$ alors $="" (q^n)=""cv=""$ vers $="" 0 < ="" li="" > < q < 1 >$
• Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ DV sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$

4) Les suites extraites

Définition : Une suite extraite de la suite $(u_n)$ est une suite $(x_n) = (u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb N}$.

Les suites extraites sont utilisées pour montrer la DV d'une suite. On se base sur le théorème suivant :

• si $(u_n)$ CV vers $l$ alors toutes ses sous-suites CV vers $l$.

Exemple : $(u_n) = ((-1)^n)$ diverge car la sous-suite $(u_{2n}) = (1)$ CV vers $1$ et la sous-suite  $(u_{2n+1}) = (-1)$ CV vers $-1$. Si $(u_n)$ convergeait alors les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ devraient converger vers la même limite ce qui n'est pas le cas.

Théorème : si la sous-suite paire $(u_{2n})$ et la sous-suite impaire $(u_{2n+1})$ converge vers la même limite alors la suite $(u_n)$ converge vers cette limite. 

5) Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

a) $(u_n)$ est croissante

b) $(v_n)$ est décroissante

c) $(v_n - u_n)$ converge vers $0$

6) Comparaison des suites de références

Définition : $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ et on note $u_n = {\rm o}(v_n)$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =0}$. 

Définition : $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ et on note $u_n \sim v_n$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =1}$. 

Equivalent de référence : si $(a_n)$ est suite qui CV vers $0$ alors $\ln(1+a_n) \sim a_n$, $\displaystyle \sin(a_n) \sim a_n$, $1- \cos(a_n) \sim \frac{a_n^2}{2}$, $e^{a_n} -1 \sim a_n$, $\tan(a_n) \sim a_n$, $(1+a_n)^{\alpha}-1 \sim \alpha a_n$. 

Théorème : si $u_n = v_n + \alpha_n + \beta_n + \ldots + \gamma_n$ et si les suites $(\alpha_n)$, $(\beta_n)$, $\ldots$, $(\gamma_n)$ sont négligeables devant $v_n$ alors $u_n \sim v_n$. 

Echelle de comparaison : les suites logarithmiques $(\ln^{\gamma})$ avec $\gamma>0$ sont négligeables devant les suites puissances $(n^{\alpha})$ avec $\alpha>0$. $n^{\alpha}$ est négligeable devant $n^{\beta}$ dès que $0< \alpha < \beta$.

Les suites puissances sont négligeables devant les suites géométriques $k^n$ avec $k>1$. 

Et $(k')^n$ est négligeable devant $k^n$ si $1 < k' < k$. $< p ="" > < k' < k. < >$

Les suites géométriques sont négligeables devant $n!$ qui est elle-même négligeable devant $n^n$.