Dérivées successives

a) $n$ est un entier naturel non nul. Une fonction $f$ est $n$-fois dérivable si $f$ est dérivable $n-1$ fois et la dérivée d'ordre $n-1$ notée $f^{(n-1)}$ est dérivable. Dans ce cas, la dérivée d'ordre $n$ (ou la dérivée $n$-ème) est $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$.

Par convention, $f^{(0)}=f$.

Exemple : $f$ est $2$-fois dérivable signifie que $f$ est dérivable et $f'$ est dérivable. 

Remarque : la définition est une définition par récurrence. 

b) Pour déterminer la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction, on calcule les premières dérivées et on conjecture une formule générale. On prouve la formule générale par récurrence. 

Exemple : soit $a$ une constante réelle. Déterminons la dérivée $n$-ème de la fonction $f:x \mapsto e^{ax}$. 

On a $f'(x) = ae^{ax}$,
$f^{(2)} = a^2e^{ax}$,
$f^{(3)} = a^3e^{ax}$
etc...

On conjecture que pour tout entier $n$, $(e^{ax})^{(n)} = a^n(e^{ax})$. 

Prouvons-le par récurrence. Pour $n=0$, $f^{(0)}(x) = f(x) = e^{ax}$ par définition. C'est bien égal à $a^0e^{ax}$. 

Supposons la formule vraie au rang $n$ : $f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}$. On a $f^{(n+1)}(x) = (f^{(n)})'(x) = (a^n e^{ax})' = a^{n+1}e^{ax}$. Donc la formule est vraie au rang $n+1$. 

c) Une formule à connaître ou à savoir à retrouver.

On pose $f(x) =x^n$.

La dérivée d'ordre $k$ de $f$ est $\displaystyle f^{(k)}(x) = n(n-1) \ldots (n-k+1) x^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$ si $k \le n$ et $f^{(k)}(x)=0$ si $k>n$ (lorsqu'on dérive un polynôme un nombre de fois strictement plus grand que son degré, on obtient la fonction nulle).

d) La formule de Leibniz

C'est une formule permettant de calculer $(f \times g)^{(n)}$.

On a $\displaystyle{(f \times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right)f^{(k)}g^{(n-k)}}$.

e) La classe $C^n$.

Définition : on dit qu'une fonction est de classe $C^1$ si $f$ est dérivable et la dérivée $f'$ est continue. 

Soit $n$ un entier non nul. On définit plus généralement $f$ est de classe $C^n$ si $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ est dérivable. 

$f$ est de classe $C^0$ signifie que $f$ est continue.

$f$ est de classe $C^{\infty}$ signifie que $f$ est de classe $C^n$ pour tout entier $n$, cela est équivalent à dire que $f$ est $n$ fois dérivable pour tout entier $n$. On dit alors que $f$ est une infiniment dérivable. 

Notons $C^n$ est de classe $C^n$ et $D^n$ est $n$ fois dérivable. On a les implications suivantes :

$f$ est $C^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $C^{n}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{n}$ $\Rightarrow$ $\ldots$ $\Rightarrow$ $f$ est $C^{2}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{2}$
$\Rightarrow$ $f$ est $C^{1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $D^{1}$ (c'est-à-dire $f$ est dérivable) $\Rightarrow$ $f$ est $C^{0}$ ($f$ est continue).

Plus on va vers la droite de cette chaîne d'inclusions et plus la fonction est irrégulière.