1) Définition
Soit $\mathrm E$ et $\mathrm F$ deux ensembles. $\mathrm E$ est l'ensemble de départ. $\mathrm F$ est l'ensemble d'arrivée. Soit $\mathrm f$ une application de $\mathrm E$ dans $\mathrm F$.
- $f$ est injective si tous les éléments de $\mathrm F$ admettent au plus c'est-à-dire aucun ou un antécédent dans $\mathrm E$.
- $f$ est surjective si tous les éléments de $\mathrm F$ admettent au moins c'est-à-dire un ou plusieurs antécédent(s) dans $\mathrm E$
- $f$ est bijective si tous les éléments de $\mathrm F$ admettent exactement un seul antécédent dans $\mathrm E$ ce qui revient à dire que $f$ est injective et surjective.
2) Exemple
L'application $f$ de ${\Bbb R}$ dans ${\Bbb R}$ telle que $f(x)=x^2$ n'est pas injective car $7$ (par exemple) admet deux antécédents à savoir $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$.
$f$ n'est pas surjective car par exemple $-12$ n'a pas d'antécédent.
L'application $f$ de ${\Bbb R}^-$ dans ${\Bbb R}$ est injective mais pas surjective.
Remarque : Une application $f$ de $\mathrm E$ sur son ensemble image $f(\mathrm E)$ est toujours surjective par définition même d'un ensemble image.
3) Définition d'une application réciproque
Si une $f : \rm E\rightarrow F$ est une bijection, on peut alors définir l'application réciproque $f^{-1}$ de $\mathrm F$ dans $E$ qui à $y$ de $\mathrm F$ associe son unique antécédent dans $\mathrm E$.
Exemple : la fonction $f$ de ${\Bbb R}^-$ dans ${\Bbb R}^+$ définie par $f(x)=x^2$ est bijective. Son application réciproque est l'application $f^{-1}: {\Bbb R}^+ \longrightarrow {\Bbb R}^-$ définie par $f^{-1}(y) = -\sqrt{y}$.
Théorème : L'application réciproque des propriétés de $f$ c'est-à-dire si $f$ est continue alors $f^{-1}$ aussi, $f^{-1}$ a le même sens de variation et la même parité que $f$. Seule la dérivabilité peut faire défaut (par exemple, $\sin$ est dérivable de $[-\pi/2,\pi/2]$ dans $[-1,1]$ mais son application réciproque qui est $\arcsin$ n'est dérivable que sur $]-1,1[$).
4) Comment montrer qu'une application $f:\mathrm E\rightarrow \mathrm F$ est injective/surjective/bijective ?
Soit $y$ dans $f$. On considère l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x$.
- Si cette équation a au moins une solution pour n'importe quel $y$, alors $f$ est surjective.
- Si cette équation n'a pas de solution pour au moins un $y$, alors $f$ n'est pas surjective.
- Si cette équation a au plus une solution pour n'importe quel $y$, alors $f$ est injective.
- Si cette équation admet au moins deux solutions pour au moins un $y$, alors $f$ n'est pas injective.
- Si cette équation a une et une seule solution pour pour n'importe quel $y$, alors $f$ n'est pas bijective.
Pour une fonction injective, on peut également suivre le schéma de démonstration suivant souvent utilisé pour les exercices théoriques :
Soit $x$ et $x'$ deux éléments de l'ensemble de départ tels que $f(x)=f(x')$. ......
A la fin, on montre que $x=x'$.
Exemple : montrer que l'application $f: {\Bbb N} \rightarrow {\Bbb N}$ telle que $f(n)=n^2$ est injective. Soit $n$ et $n'$ deux entiers tels que $f(n)=f(n')$. Alors $n^2=n'^2$ soit $0 = n^2-n'^2 = (n-n')(n+n')$ ce qui implique que $n=n'$ ou $n=-n'$. Si $n \neq n'$, on ne peut avoir $n=-n'$ pour des raisons de signe donc on a forcément $n=n'$. Donc $f$ est injective. Remarquons que $f$ n'est pas surjective.
5) Dans le cas spécifique des fonctions de ${\Bbb R}$ dans ${\Bbb R}$, on dispose du théorème suivant :
Théorème : une fonction d'un intervalle $\mathrm I$ dans ${\Bbb R}$ strictement monotone et continue est bijective de $\mathrm I$ sur son ensemble image $f(\mathrm I)$ qui est un intervalle.
Remarque : la réciproque est fausse. La fonction $f:[0,2] \rightarrow [0,2]$ telle $f(x)=x$ si $x \in [0,1[$ et $f(x) = -x+3$ si $x \in [1,2]$ est bijective de $[0,2]$ dans $[0,2]$ mais n'est ni continue ni strictement monotone.
