Espace probabilisé

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable constitué d'un ensemble $\Omega$ (l'univers) et d'une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$.

Remarque :

$\mathcal{A}\in\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu si :

• $\Omega\in\mathcal{A}$
• Pour tout $\rm A\in\mathcal{A}$, $\rm \bar{A}\in\mathcal{A}$.
• Pour toute suite $\rm (A_n)_n \in\mathcal{A}^{\mathbb N}$, $\rm \displaystyle\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\in\mathcal{A}$

Les éléments de la tribu sont des événements de $\Omega$.

Méthode 1 : Étudier une probabilité

Définition :

$P$ est une probabilité sur l'espace probabilisable $(\Omega, \mathcal{A})$ si :

• $\rm P$ est une application : $\rm P:\mathcal{A}\to [0 ~;1]$
• $\rm P(\Omega)=1$
• Pour toute suite $\rm (A_n)_n \in\mathcal{A}^{\mathbb N}$ d'événements deux à deux incompatibles, $\rm P(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n)$
  $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ est appelé espace probabilisé.

Propriétés élémentaires :

• $\rm P(\emptyset)=0$
• $\rm P(\bar{A})=1-P(A)$ pour tout $\rm A\in\mathcal{A}$
• Si $\rm (A_n)_n$ est une suite d'événements, $\rm P(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n)\leq\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\rm P(A_n)$ (inégalité de Boole)
• Si $\rm (A_n)_n$ est une suite croissante d'événements, $\rm \lim_{n\to +\infty}P(A_n)=P(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n)$
• Si $\rm (A_n)_n$ est une suite décroissante d'événements, $\displaystyle\rm \lim_{n\to +\infty}P(A_n)=P(\bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n)$

Théorème :

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ un espace probabilisé. Soit $\rm A\in\mathcal{A}$.

• $\rm A$ est négligeable si $\rm P(A)=0$.
• Une réunion finie ou dénombrable d'événements négligeables est négligeable.
• $\rm A$ est presque sûr si $\rm P(A)=1$ (c'est-à-dire $\rm \bar{A}$ négligeable).
• Une intersection finie ou dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.

Théorème :

Si $\Omega$ est fini ou dénombrable et si $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$, une probabilité $\rm P$ sur $(\Omega, \mathcal{A})$ peut s'identifier par $\mathrm P(\{w\})=\mathrm p_w$ pour tout $w\in\Omega$ à une famille $(\mathrm p_w)_{w\in\Omega}$ de réels positifs sommable et de somme égale à $1$.

Méthode 2 : Étudier une probabilité conditionnelle

Définition :

Soit $\rm B$ événement de $\Omega$ tel que $\rm P(B)>0$.
Pour tout $\rm A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $\rm \underline A$ sachant $\rm \underline B$ est : 
$\displaystyle \rm P_B(A)=P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Si $\rm P(B)=0$, $\rm P(A|B)=0$.
$\rm P_B$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$.

Théorème :

Soient $\rm A, B$ deux événements de $\Omega$.
$\rm P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

Théorème :

Si $\rm (A_i)_{i\in I}$ système complet d'événements de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$, pour tout événement $\rm B\in \Omega$ : $\displaystyle\rm P(B)=\sum_{i\in I}P(B|A_i)P(A_i)$

Remarque :

$\rm {A_i}_{i\in I}$ ($\rm I$ ensemble fini ou dénombrable) est un système complet d'événements si :

• Pour tous $\rm i,~j\in I$, $\rm i\neq j$, $\rm A_i\cap A_j =\emptyset$
• $\displaystyle\rm \bigcup_{i\in I}Ai=\Omega$

Théorème : Formule de Bayes

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements de probabilités non nulle :
$\displaystyle \rm P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$

Méthode 3 : Étudier l'indépendance d'événements

Définition :

Deux événements $\rm A, B$ de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ sont indépendants si $\rm P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Remarque :

Si $\rm P(B)>0$, $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants si $\rm P(A|B)=P(A)$.

Théorème :

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants :

• $\rm A$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.
• $\rm \bar{A}$ et $\rm B$ sont indépendants.
• $\rm \bar{A}$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.

Définition :

Soit $\rm (A_i)_{i\in I}$ famille d'événements de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.
Les $\rm (A_i)_{i\in I}$ sont mutuellement indépendants si pour tout $\rm J$ finie $\rm \subset I$ :

$\displaystyle\rm P\Bigg(\bigcap_{j\in J}A_j\Bigg)=\prod_{j\in J}P(A_j)$.