Espaces vectoriels et applications linéaires

1) Espace vectoriel sur $\mathbb R^n$

Définitions : On appelle vecteur de $\mathbb R^n$ tout élément $x=(x_1,…,x_n)$ noté aussi $x=(x_i)_{1\leq i\leq n}$.

Les $x_i$ sont les composantes ou coordonnées du vecteur $x$.

L’espace $\mathbb R^n$ muni de l’addition $+$ et de la loi $\cdot$ : $(\mathbb R^n,+,\cdot)$ est un $\mathbb R$-espace vectoriel.

Remarques : L’addition, notée $+$ est interne : $\begin{array}{ll}+:\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R^n \\ \quad (x,y)\mapsto x+y\end{array}$.

La loi $\cdot$ est une loi externe : $\begin{array}{ll}+:\mathbb R\times \mathbb R^n\to \mathbb R^n \\ \quad (\lambda,x)\mapsto \lambda\cdot x=\lambda x\end{array}$.

Définition : La famille $(\mathrm e_1,…,\mathrm e_n)$, définie par $\mathrm e_i=(0,…,1,…)$ avec 1 en i-ème position, est la base canonique de $\mathbb R^n$.
Pour tout $x\in\mathbb R^n$, $\displaystyle x=\sum_{i=1}^nx_i\mathrm e_i$^

Exemple : La base canonique du plan vectoriel $\mathbb R^2$ est formée des vecteurs $(1 ~;~0)$ et $(0 ~;~1)$.

Définition : Si $y_1,\ldots,y_p$ sont $p$ vecteurs de $\mathbb R^n$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ sont $p$ réels, alors le vecteur $\lambda_1y_1+\ldots+\lambda_p y_p$ est une combinaison linéaire des vecteurs $y_1, \ldots,y_p$.

Définition : Soit $F\subset \mathbb R^n$.

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ si :

• $F\neq \emptyset$
• Pour tous $u,v\in F$ et $\lambda \in \mathbb R$, $u+v\in F$ et $\lambda u\in F$.

Remarque : Un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul.

Définition : Soit une famille de $\mathbb R^n$ ${\mathcal F} = (u_1, \ldots, u_p)$ ou ${\mathcal F} = \left(u_i\right)_{1 \leq i \leq p}$.

Le sous-espace vectoriel engendré par la famille ${\mathcal F}$, noté ${\rm vect}({\mathcal F})$, est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $u_1, \ldots, u_p$. Autrement dit : ${\rm vect}({\mathcal F}) = \{\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_p u_p$ tel que $(\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in {\Bbb R}^p\}$.

Remarque : si $p=1$, alors ${\rm vect}({\mathcal F}) = {\rm vect}(u_1) = \{\lambda.u_1 \mid \lambda \in {\Bbb R}\}$; c'est une droite vectorielle. 

Théorème : un sous-espace vectoriel engendré est un sous-espace vectoriel.

Théorème : $(u_1,\ldots,u_p)$ est une base du sous-espace vectoriel du sous-espace vectoriel $F$ de $\mathbb R^n$ si et seulement si tout vecteur de $F$ se décompose de manière unique sous forme d’une combinaison linéaire de $(u_1,\dots,u_p)$.

2) Applications linéaires

Définition : Soit $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^p$ une application.

$f$ est linéaire si pour tout $x\in\mathbb R^n$, pour tout $y\in \mathbb R^n$, pour tout $\lambda\in \mathbb R$, $f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)$.

Remarque : Soit $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^p$. Si $f$ est linéaire, l’image par $f$ du vecteur nul de $\mathbb R^n$ est le vecteur nul de $\mathbb R^p$ et pour tout $x\in\mathbb R^n$, $f(-x)=-f(x)$.

Exemple : On identifie $\mathbb R^n$ avec $M_{n,1}(\mathbb R)$ (les vecteurs de $\mathbb R^n$ sont en colonne). On fait de même avec $\mathbb R^p$ et $M_{p,1}(\mathbb R)$.

Soit $M$ une matrice de $M_{p,n}(\mathbb R)$. Alors $f :x\in\mathbb R^n \to Mx \in \mathbb R^p$ est linéaire.

Définition : Soit $f$ application linéaire de $\mathbb R^n$ vers $\mathbb R^p$.

On définit le noyau de $f$ par $Ker(f)=\{x\in\mathbb R^n/f(x)$ $=0 \mbox{ (vecteur nul)}\}$.

Théorème : Le noyau est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$.

Définition : Soit $f$ application linéaire de $\mathbb R^n$ vers $\mathbb R^p$.

On définit l’image de $f$ par $Im(f)=\{y\in\mathbb R^p/\mbox{ il existe }x\in\mathbb R^n$, $f(x)=y\}$

Théorème : L’image est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^p$.

Théorème : Soit $(\mathrm e_1, \ldots \mathrm e_n)$ base canonique de $\mathbb R^n$.

$Im(f)=Vect(f(\mathrm e_1),\ldots ,f(\mathrm e_n))$