Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle

1) Continuité en un point. 

La fonction est continue au point $x_0 \in \rm I$ si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)}$.

(Cela demande donc déjà que la limite existe).

Remarque : la continuité de $f$ en $x_0$ présuppose implicitement que $f$ est déjà définie en $x_0$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que la limite $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)}$ existe, on dit alors que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$.

Par exemple, la fonction $\displaystyle{f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)}$ est définie seulement sur ${\Bbb R}^*$. Elle n'est pas définie en $0$. Cependant $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 0}$ donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$. La nouvelle fonction - qu'on appelle encore $f$ - définie par $f(0)=0$ et $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$ est à présent continue sur tout ${\Bbb R}$.

2) Continuité sur un intervalle. 

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est continue en tout point de cet intervalle. 

3) Les théorèmes importants sur ce chapitre.

Il y a beaucoup de théorèmes mais on pourra en retenir trois qui sont essentiels :

a) Le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone alors $f$ s'annule une unique fois.

b) Si $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

c) Théorème de la bijection :

Toute fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $\rm I$ définit une bijection de $\rm I$ sur $f(\rm I)$.