Méthode 1 : Etudier des fonctions convexes dans le cas général

Soit f:I→R

  • f est convexe si elle vérifie :

Pour tous a,b∈I, pour tout λ∈[0 ;1], f((1−λ)a+λb)≤(1−λ)f(a)+λf(b)

  • f est concave si elle vérifie :

Pour tous a,b∈I, pour tout λ∈[0 ;1], f((1−λ)a+λb)≥(1−λ)f(a)+λf(b)

  • f est convexe si et seulement si l’épigraphe de f est convexe.

Remarques :

    • Epigraphe =Epi(f)={(x,y)∈R2/x∈Ietf(x)≤y}.
    • Une partie A de E est convexe si pour tous a,b∈A, [a,b]⊂A.

Méthode 2 : Etudier des fonctions convexes dérivables

  • Soit f:I→R dérivable.

Il y a équivalence entre :

    • f est convexe
    • f′ est croissante
    • f″>0 (si f est deux fois dérivable).

  • Soit f:I→R dérivable.

Si f est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.