Méthode 1 : Etudier des fonctions convexes dans le cas général

Soit $f : \rm I \to \mathbb R$

  • $f$ est convexe si elle vérifie :

Pour tous $\rm a,b\in I$, pour tout $\lambda \in [0 ~;1]$, $f((1\mathrm{-\lambda)a+\lambda b)} \leq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$

  • $f$ est concave si elle vérifie :

Pour tous $\rm a, b\in I$, pour tout $\lambda \in [0~ ;1]$, $f((1-\lambda)\mathrm{a+\lambda b)} \geq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$

  • $f$ est convexe si et seulement si l’épigraphe de $f$ est convexe.

Remarques :

    • Epigraphe $=\mathrm{Epi}(f) = \{(x, y)\in\mathbb R^2/x\in \mathrm I \quad \mbox{et} \quad f(x) \leq y\}$.
    • Une partie $\rm A$ de $\rm E$ est convexe si pour tous $\rm a,b\in A$, $\rm [a,b] \subset A$.

Méthode 2 : Etudier des fonctions convexes dérivables

  • Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Il y a équivalence entre :

    • $f$ est convexe
    • $f’$ est croissante
    • $f’’>0$ (si $f$ est deux fois dérivable).

  • Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Si $f$ est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.