Intégrales sur un intervalle quelconque

Méthode 1 : Etudier des intégrales convergentes

Définition :

Soient $\rm a \in\mathbb R$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$ avec $\rm a<b$.
Soit $f :\rm [a,b[\to \mathbb K$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm [a ~;b[$ converge si $\displaystyle\int_a^x f(\rm t)dt$ converge quand $x\to \rm b^-$.

Dans ce cas, $\displaystyle\int_{[\rm a ~; ~b[}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}=\lim_{x\to \mathrm b^-}\int_\mathrm a^xf\rm (t)dt$.

Propriétés :

Soient $f,g : \rm I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$.

• Si les intégrales $\int_\mathrm I f$ et $\int_\mathrm I g$ convergent :
• Si $\int_\mathrm I f$ converge et si $f\geq 0$, alors $\int_\mathrm I f\geq 0$.
• Si $\int_\mathrm I f$ converge, si $f\geq 0$ et si $\int_\mathrm I f=0$, alors $f$ est la fonction nulle.
• Si $\int_\mathrm I f$ converge, alors $\int_\mathrm I \bar{f}$ converge et $\int_\mathrm I \bar{f}=\bar{\int_\mathrm I f}$

Théorème de comparaison de fonctions positives :

Soient $f,g :\rm [a ~;+\infty[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $0\leq f\leq g$.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ converge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ diverge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ diverge.

Théorème :

Soit $f :\rm [a ~;+\infty[\to \mathbb R$ continue de primtive $\rm F$.

Il y a équivalence entre :

• $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f\rm (t)dt$ converge.
• $\mathrm F(x)$ converge quand $x\to +\infty$.

On a alors : $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f\mathrm{(t)dt}=\lim_{x\to +\infty}\mathrm F(x)-\mathrm F(\mathrm a)=[\mathrm F(x)]_\rm a^{+\infty}$

Théorème :

Si $f$ est continue et si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge alors $\displaystyle\frac{\rm d}{\mathrm dx}\bigg(\int_\mathrm a^{+\infty}f\bigg)=-f(x)$.

Théorème : Relation de Chasles

Soit $f :\rm I\to\mathbb C$ continue par morceaux telle que $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge.
Pour tous $\rm a,b,c$ éléments ou extrémités de $\rm I$ :
$\displaystyle\mathrm {\int_a^b} f\mathrm{(t)dt=\int_a^c} f\mathrm{(t)dt+\int_c^b} f\rm (t)dt$

Et les intégrales convergent.

Méthode 2 : Critères d'intégralité

• Intégrabilité sur un intervalle quelconque

Théorème :

Soit $f :\rm I\to\mathbb R$ continue par morceaux et positive.

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $\int_\mathrm I f$ converge
• Il existe $\rm M\in\mathbb R$, tel que pour tout $\rm [\alpha,\beta]\subset I$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f\leq \rm M$

Définition :

Soit $f :\rm I\to\mathbb K$ fonction continue par morceaux.
$f$ est intégrable sur $\rm I$ si $\int_\mathrm I |f\rm (t)|dt$ converge.
L’intégrale $\int_\mathrm I f\rm (t)dt$ est absolument convergente.

Théorème :

Si $f$ intégrable sur $\rm I$, alors $\int_\mathrm I f$ converge et $|\int_\mathrm I f|\leq \int_\mathrm I|f|$

Théorème :

Soient $f,g :\rm I\to \mathbb K$ continues par morceaux et $\alpha,\beta \in\mathbb K$.
Si $f$ et $g$ sont intégrables alors $\alpha f+\beta g$ est intégrable.

• Utiliser la comparaison de fonctions 

Théorème :

Soient $f : \rm I \to \mathbb R$ et $g : \rm I \to \mathbb {R^+}$ continues par morceaux.
Si pour tout $\rm t \in I$, $|f(\mathrm t)|\leq g(\mathrm t)$ avec $g$ intégrable alors $f$ est intégrable.

Théorème de comparaison asymptotique :

Soient $f,g :\rm [a~ ;b[\to\mathbb R^+$ continues par morceaux.
Si $f\mathrm{(t)\underset{t\to b^-}\sim} g(\rm t)$ alors $\int_{\rm [a ~;~b[}f$ et $\int_{\rm [a ~;~b[}g$ ont même nature.

• Utiliser des intégrales usuelles

Théorème : Intégrales de Riemann

Soit $\alpha\in\mathbb R$.
$\rm \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Théorème :

Soit $\rm a < b$ deux réels et $\alpha\in\mathbb R$. $\rm \displaystyle\int_a^b\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha <1$.