1) La définition d'un espace vectoriel

a) Ce qu'il faut retenir de la définition d'un espace vectoriel (ev). La définition est longue et relativement compliquée. Il faut retenir qu'il y a deux opérations : 

  • L'addition : si on ajoute deux éléments de $E$ - qu'on appelle vecteurs - on obtient un nouveau vecteur
  • La multiplication externe : si on multiplie un vecteur par un scalaire (c'est-à-dire un réel ou un complexe) on obtient un vecteur. 
    "externe", car on multiplie un vecteur par un objet extérieur à l'espace vectoriel à savoir un scalaire.

Retenir qu'il y a un vecteur particulier : le vecteur nul noté $0_E$ qui vérifie $x+0_E=x$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

b) Connaître les ev de références :

  • ${\Bbb R}^n$ (ou ${\Bbb C}^n$). Un vecteur est $n$-uplet $(x_1,\ldots,x_n)$. Le vecteur nul est $(0,\ldots,0)$.
  • $({\Bbb K}^{{\Bbb N}},+,.)$ l'ensemble des suites à valeurs dans ${\Bbb K}$. Le vecteur nul = la suite nulle notée $(0)_{n \ge 0}$. 
  • $({\mathcal F}(A,{\Bbb R}),+,.) = ({\Bbb R}^{A},+,.)$ l'ensemble des fonctions de $A$ dans ${\Bbb R}$ où $A$ désigne une partie de ${\Bbb R}$. Le vecteur nul est la fonction nulle.
  • $(M_{n,p}({\Bbb K}),+,.)$ l'ensemble des matrices de taille $n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$
    Le vecteur nul est la matrice nulle notée $(0)$.
  • ${\Bbb K}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. Le vecteur nul est le polynôme nul noté $0_{{\Bbb K}[X]}$.

2) Sous-espace vectoriel (sev)

a) La notion de sous-espace vectoriel engendré.

C'est l'une des notions les plus importantes du cours d'algèbre linéaire. 

Définition : Soit $E$ un ${\Bbb K}$-ev. Une famille finie de vecteurs de $E$ est la donnée d'un nombre fini de vecteurs de $E$. Une famille se note ${\mathcal F} = (u_1, \ldots, u_p)$ ou ${\mathcal F} =
\left(u_i\right)_{1 \leq i \leq p}$.

Le sous-espace vectoriel engendré par la famille ${\mathcal F}$, noté ${\rm vect}({\mathcal F})$, est l'ensemble des combinaisons linéaires (=C.L) des vecteurs $u_1, \ldots, u_p$. Autrement dit : ${\rm vect}({\mathcal F}) = \{\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_p u_p \mbox{ tel que }(\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in {\Bbb K}^p\}$.

Remarque : si $p=1$, alors ${\rm vect}({\mathcal F}) = {\rm vect}(u_1) = \{\lambda.u_1 \mid \lambda \in {\Bbb K}\}$; c'est une droite vectorielle. 

Théorème : un sous-espace vectoriel engendré est un sous-espace vectoriel.

b) Méthode pour écrire un sous-espace vectoriel défini par des équations sous la forme d'un sous-espace vectoriel engendré :

Par exemple : soit $F = \{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=0\}$. 

On écrit un vecteur de $F$ avec le MINIMUM de paramètres possibles. On a besoin de 3 paramètres : $x$, $y$ et $z$ pour décrire un vecteur de ${\Bbb R}^3$ mais si ce vecteur appartient à $F$, on sait que (par exemple) $z=-x-y$ donc $(x,y,z) = (x,y,-x-y)$ puis on décompose :

$(x,y,z) = (x,y,-x-y) = (x,0,-x)+(0,y,-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1)$ ce qui montre que tous les vecteurs de $F$ sont des C.L des vecteurs $a=(1,0,-1)$ et $b=(0,1,-1)$.

Autrement dit, on a montré que $F = {\rm vect}(a,b)$. 

Cela montre que $F$ est un sous-espace vectoriel engendré donc un sev ! (cf théorème précédent) donc un ev ! 

En effet, par théorème, un sev est un ev !

c) Comment montrer qu'une partie d'un ev est un sous-espace vectoriel ?

Soit $F$ une partie d'un ev $E$. On se demande si $F$ est un sev ou pas.

  • Premier test à faire. Si le vecteur nul $0_E$ n'appartient pas à $F$ alors $F$ n'est pas un sev. 

Par exemple, l'ensemble $F=\{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=1\}$ n'est pas un sev car le vecteur nul $(0,0,0)$ n'appartient pas à $F$.

  • On utilise la définition :

$F$ est une partie non vide $E$ stable par C.L c'est-à-dire $\forall (x,y) \in F^2$, $\forall (\lambda,\mu) \in {\Bbb K}^2$, $\lambda x + \mu y \in F$ ce que l'on peut écourter en $\forall (x,y) \in F^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $\lambda x + y \in F$.

  • On montre que $F$ est un sev engendré (voir exemple dans le paragraphe précédent).
  • On montre que $F$ est le noyau d'une application linéaire.