Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

1) La définition d'un espace vectoriel

a) Ce qu'il faut retenir de la définition d'un espace vectoriel (ev). La définition est longue et relativement compliquée. Il faut retenir qu'il y a deux opérations : 

• L'addition : si on ajoute deux éléments de $E$ - qu'on appelle vecteurs - on obtient un nouveau vecteur
• La multiplication externe : si on multiplie un vecteur par un scalaire (c'est-à-dire un réel ou un complexe) on obtient un vecteur. 
  "externe", car on multiplie un vecteur par un objet extérieur à l'espace vectoriel à savoir un scalaire.

Retenir qu'il y a un vecteur particulier : le vecteur nul noté $0_E$ qui vérifie $x+0_E=x$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

b) Connaître les ev de références :

• ${\Bbb R}^n$ (ou ${\Bbb C}^n$). Un vecteur est $n$-uplet $(x_1,\ldots,x_n)$. Le vecteur nul est $(0,\ldots,0)$.
• $({\Bbb K}^{{\Bbb N}},+,.)$ l'ensemble des suites à valeurs dans ${\Bbb K}$. Le vecteur nul = la suite nulle notée $(0)_{n \ge 0}$. 
• $({\mathcal F}(A,{\Bbb R}),+,.) = ({\Bbb R}^{A},+,.)$ l'ensemble des fonctions de $A$ dans ${\Bbb R}$ où $A$ désigne une partie de ${\Bbb R}$. Le vecteur nul est la fonction nulle.
• $(M_{n,p}({\Bbb K}),+,.)$ l'ensemble des matrices de taille $n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$
  Le vecteur nul est la matrice nulle notée $(0)$.
• ${\Bbb K}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. Le vecteur nul est le polynôme nul noté $0_{{\Bbb K}[X]}$.

2) Sous-espace vectoriel (sev)

a) La notion de sous-espace vectoriel engendré.

C'est l'une des notions les plus importantes du cours d'algèbre linéaire. 

Définition : Soit $E$ un ${\Bbb K}$-ev. Une famille finie de vecteurs de $E$ est la donnée d'un nombre fini de vecteurs de $E$. Une famille se note ${\mathcal F} = (u_1, \ldots, u_p)$ ou ${\mathcal F} = \left(u_i\right)_{1 \leq i \leq p}$.

Le sous-espace vectoriel engendré par la famille ${\mathcal F}$, noté ${\rm vect}({\mathcal F})$, est l'ensemble des combinaisons linéaires (=C.L) des vecteurs $u_1, \ldots, u_p$. Autrement dit : ${\rm vect}({\mathcal F}) = \{\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_p u_p \mbox{ tel que }(\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in {\Bbb K}^p\}$.

Remarque : si $p=1$, alors ${\rm vect}({\mathcal F}) = {\rm vect}(u_1) = \{\lambda.u_1 \mid \lambda \in {\Bbb K}\}$; c'est une droite vectorielle. 

Théorème : un sous-espace vectoriel engendré est un sous-espace vectoriel.

b) Méthode pour écrire un sous-espace vectoriel défini par des équations sous la forme d'un sous-espace vectoriel engendré :

Par exemple : soit $F = \{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=0\}$. 

On écrit un vecteur de $F$ avec le MINIMUM de paramètres possibles. On a besoin de 3 paramètres : $x$, $y$ et $z$ pour décrire un vecteur de ${\Bbb R}^3$ mais si ce vecteur appartient à $F$, on sait que (par exemple) $z=-x-y$ donc $(x,y,z) = (x,y,-x-y)$ puis on décompose :

$(x,y,z) = (x,y,-x-y) = (x,0,-x)+(0,y,-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1)$ ce qui montre que tous les vecteurs de $F$ sont des C.L des vecteurs $a=(1,0,-1)$ et $b=(0,1,-1)$.

Autrement dit, on a montré que $F = {\rm vect}(a,b)$. 

Cela montre que $F$ est un sous-espace vectoriel engendré donc un sev ! (cf théorème précédent) donc un ev ! 

En effet, par théorème, un sev est un ev !

c) Comment montrer qu'une partie d'un ev est un sous-espace vectoriel ?

Soit $F$ une partie d'un ev $E$. On se demande si $F$ est un sev ou pas.

• Premier test à faire. Si le vecteur nul $0_E$ n'appartient pas à $F$ alors $F$ n'est pas un sev. 

Par exemple, l'ensemble $F=\{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=1\}$ n'est pas un sev car le vecteur nul $(0,0,0)$ n'appartient pas à $F$.

• On utilise la définition :

$F$ est une partie non vide $E$ stable par C.L c'est-à-dire $\forall (x,y) \in F^2$, $\forall (\lambda,\mu) \in {\Bbb K}^2$, $\lambda x + \mu y \in F$ ce que l'on peut écourter en $\forall (x,y) \in F^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $\lambda x + y \in F$.

• On montre que $F$ est un sev engendré (voir exemple dans le paragraphe précédent).

• On montre que $F$ est le noyau d'une application linéaire.