La continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales d'une fonction. C'est-à-dire on définit ce qu'est la continuité et la dérivabilité d'une fonction en un point $x_0$ d'un intervalle $\rm I$ puis on définit ce qu'est la continuité et la dérivabilité sur tout l'intervalle $\rm I$.

Dans toute la suite, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $\rm I$.

1) Continuité en un point. 

La fonction est continue au point $x_0 \in\rm I$ si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)}$.

(Cela demande donc déjà que la limite existe).

Remarque : la continuité de $f$ en $x_0$ présuppose implicitement que $f$ est déjà définie en $x_0$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que la limite $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)}$ existe, on dit alors que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$.

Par exemple, la fonction $\displaystyle{f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)}$ est définie seulement sur ${\Bbb R}^*$. Elle n'est pas définie en $0$. Cependant $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 0}$ donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$. La nouvelle fonction - qu'on appelle encore $f$ - définie par $f(0)=0$ et $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$ est à présent continue sur tout ${\Bbb R}$.

2) Continuité sur un intervalle. 

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est continue en tout point de cet intervalle. 

3) Dérivabilité en un point. 

La fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$ de l'intervalle $\rm I$ si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $x \rightarrow x_0$. 

On pose $h=x-x_0$ et donc $x = x_0+h$. Alors $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x_0+h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $h \rightarrow 0$. 

Cette limite se note $f'(x_0)$ et s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $x_0$. Il est égal à la pente de la tangente en $x_0$.

4) Dérivabilité sur un intervalle. 

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est dérivable en tout point de cet intervalle. 

Remarque : soit $f:[a,b] \rightarrow {\Bbb R}$. Soit $c \in ]a,b[$. Si $f$ est dérivable sur $[a,c]$ et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ alors $f$ n'est pas forcément dérivable sur la réunion $[a,c] \cup [c,b] = [a,b]$. 

Car dire que $f$ est dérivable sur $[a,c]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à gauche de $c$ c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^-$. 

Et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à droite de $c$ c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^+$.

Mais les deux limites ne sont pas forcément les mêmes de sorte que $f$ n'est pas forcément dérivable en $c$. 

Théorème : la dérivabilité implique la continuité.

La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur ${\Bbb R}$ mais pas dérivable sur ${\Bbb R}$ car par dérivable en $0$. 

5) Comment étudier la continuité/dérivabilité d'une fonction définie par morceaux ?

Par exemple : étudions la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. 

  • Sur ${\Bbb R}^*$, la fonction est la composée de la fonction exponentielle (dérivable sur ${\Bbb R}$) et de la fonction $x \mapsto 1/x^2$ (dérivable sur ${\Bbb R}^*$) donc par composition $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$. 
  • Ensuite on étudie la dérivabilité au point $0$. Le taux de variation est $\displaystyle \Delta(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $\displaystyle = \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$.
    On effectue le changement de variable $\displaystyle{y = \frac{1}{x}}$. On a alors $\Delta(x) = ye^{-y^2}$. Lorsque $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $\pm \infty$. Par croissance comparée, $\Delta(x)$ tend vers $0$ donc la fonction $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$ (la limite du taux de variation). 
  • Synthèse : $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$ et $f$ est dérivable en $0$ donc $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}$.

6) Les théorèmes importants sur ce chapitre.

Il y a beaucoup de théorèmes mais on pourra en retenir trois qui sont essentiels :

a) Le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone alors $f$ s'annule une unique fois.

b) L'inégalité des accroissements finis dans la version suivante : soit $f$ une fonction dérivable sur $\rm I$ telle que la dérivée soit bornée c'est-à-dire il existe $k\ge 0$ tel que $\forall t \in \rm I$, $|f'(t)| \le k$. Alors pour tout $(x,y)$ dans $\rm I^2$, $|f(x)-f(y)| \le k |x-y|$.

Ce théorème est notamment utilisé pour étudier certaines suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

c) Si $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.