1) Définition et théorème
Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme dite exponentielle z=ρeiθ avec θ un réel appelé un argument de z et ρ un réel strictement positif égal au module de z.
Remarque : ρ est unique mais θ n'est défini que modulo 2π ce qui veut dire que si θ est un argument de z alors θ+2kπ avec k un entier relatif est encore un argument.
2) Si le nombre est particulier, il faut placer mentalement le nombre dans le plan complexe.
Par exemple, z=5 est sur l'axe réel positif donc un argument est 0 et son module est 5 donc z=5ei0.
z=−3 est sur l'axe réel négatif donc un argument est π et son module est 3 donc z=3eiπ.
z=−13i est sur l'axe imaginaire négatif donc un argument est −π2 (ou 3π2) et son module est 13 donc z=13e−iπ2.
3) Voici la méthode pour mettre un nombre complexe sous la forme exponentielle.
Dans la forme algébrique de z=a+ib, on met le module |z|=√a2+b2 en facteur :
z=√a2+b2(a√a2+b2+ib√a2+b2).
Puis on cherche un angle θ tel que cos(θ)=a√a2+b2 et sin(θ)=b√a2+b2.
Exemple :
Mettre sous forme exponentielle: z=3−3.i.
a) On calcule le module : |z|=|3−3.i| =3|1−i| =3√12+(−1)2 =3√2.
b) on factorise par le module et on reconnaît un angle :
z=3√2(1√2−i1√2) =3√2(cosπ4−isinπ4) =3√2[cos(−π4)+isin(−π4)]
c) on écrit la forme exponentielle de z :
z=3√2e−iπ4
4) Application
On utilise la forme exponentielle d'un nombre complexe lorsqu'on a besoin de calculer la puissance entière d'un nombre complexe. En effet, il est plus facile de calculer (a×b)n que (a+b)n.
Calculer (3−3i)2011.
D'après la forme exponentielle de 3−3i,
(3−3i)2011=(3√2e−iπ4)2011 =(3√2)2011e−i2011π4 (on a utilisé la formule de Moivre).
Remarque : (3√2)2011 =32011√22010√2 =3201121005√2.
Simplification de e−i2011π4.
La division euclidienne de 2011 par 8 est 2011=251×8+3.
Donc 20114=251×2+34 donc 20114π=251×2π+34π.
Donc (3−3i)2011 =3201121005√2e−i34π =3201121005√2(−√22−i√22).
Donc (3−3i)2011=−3201121005(1+i).