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Nombres complexes

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Parcours méthodologique : Forme exponentielle d'un nombre complexe et application

1) Définition et théorème

Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme dite exponentielle z=ρeiθ avec θ un réel appelé un argument de z et ρ un réel strictement positif égal au module de z

Remarque : ρ est unique mais θ n'est défini que modulo 2π ce qui veut dire que si θ est un argument de z alors θ+2kπ avec k un entier relatif est encore un argument. 

2) Si le nombre est particulier, il faut placer mentalement le nombre dans le plan complexe.

Par exemple, z=5 est sur l'axe réel positif donc un argument est 0 et son module est 5 donc z=5ei0.

z=3 est sur l'axe réel négatif donc un argument est π et son module est 3 donc z=3eiπ.

z=13i est sur l'axe imaginaire négatif donc un argument est π2 (ou 3π2) et son module est 13 donc z=13eiπ2.

3) Voici la méthode pour mettre un nombre complexe sous la forme exponentielle.

Dans la forme algébrique de z=a+ib, on met le module |z|=a2+b2 en facteur :

z=a2+b2(aa2+b2+iba2+b2).

Puis on cherche un angle θ tel que cos(θ)=aa2+b2 et sin(θ)=ba2+b2.

Exemple : 

Mettre sous forme exponentielle: z=33.i

a) On calcule le module : |z|=|33.i| =3|1i| =312+(1)2 =32.

b) on factorise par le module et on reconnaît un angle : 

z=32(12i12) =32(cosπ4isinπ4) =32[cos(π4)+isin(π4)]

c) on écrit la forme exponentielle de z
z=32eiπ4

4) Application

On utilise la forme exponentielle d'un nombre complexe lorsqu'on a besoin de calculer la puissance entière d'un nombre complexe. En effet, il est plus facile de calculer (a×b)n que (a+b)n

Calculer (33i)2011.

D'après la forme exponentielle de 33i

(33i)2011=(32eiπ4)2011 =(32)2011ei2011π4 (on a utilisé la formule de Moivre).

Remarque : (32)2011 =32011220102 =32011210052.

Simplification de ei2011π4.

La division euclidienne de 2011 par 8 est 2011=251×8+3.

Donc 20114=251×2+34 donc 20114π=251×2π+34π.

Donc (33i)2011 =32011210052ei34π =32011210052(22i22).

Donc (33i)2011=3201121005(1+i).

Parcours méthodologique : Racine carrée d'un nombre complexe

Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.

Soit $\mathrm A=a+ib$ un nombre complexe. On cherche $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$. 

On a $z^2=\mathrm A \iff (x+iy)^2 = a+ib \iff x^2-y^2 +2ixy =a +ib$.

On obtient un système de deux équations à deux inconnues :

$\left\{\begin{array}{lll}
x^2-y^2 & = a \\
2xy & = b
\end{array}\right.$.

Pour faciliter la résolution, on ajoute une troisième équation $z^2=\mathrm A \Rightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.
Or $|z^2| = |z|^2 = x^2+y^2$ et $\mathrm A=\sqrt{a^2+b^2}$. 

On obtient donc un système $3$ d'équations à $2$ inconnues :

$\left\{\begin{array}{llll}
x^2-y^2 & = a & (1)\\
x^2+y^2 & = \sqrt{a^2+b^2} & (2)\\
2xy & = b & (3)
\end{array}\right.$.

$(1) + (2)$ donne $x$. 

$(2) - (1)$ donne $y$. Cela va fournir $4$ couples $(x,y)$ possibles. Mais l'équation $(3)$ indique si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signe contraire. 

Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première. 

Remarque 2 : si $\mathrm A$ est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrés de $\mathrm A$ sont alors $\pm i\sqrt{-\mathrm A}$. 

Exemple : 

Cherchons les racines carrées du nombre $\mathrm A=3-4i$. 

On cherche donc $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$. 

$z^2=a$ $\iff$ $(x+iy)^2=\mathrm A$ $\iff$ $x^2-y^2 + 2xy i = 3-4i$ $\iff$ $\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-y^2= 3\\
2xy= - 4
\end{array}\right.$

L'utilisation du module va fournir une 3ème équation.

$z^2=\mathrm A \Longrightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.

Or $|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$ et $|\mathrm A|=\sqrt{9+16}=5$. On a donc le système d'équations :

$\left\{\begin{array}{cccc}
x^2-y^2 & = & 3 & (1) \\
x^2+y^2 & = & 5 & (2) \\
\text{signe}(xy) & = & \text{négatif}
\end{array}
\right.$

En additionnant $(1)$ et $(2)$, on obtient: $2x^2 = 8$ soit $x^2=4$ soit $x = \pm 2$.

En soustrayant $(2)$ et $(1)$, on obtient: $2y^2 = 2$ soit $y^2=1$ soit $y = \pm 1$.

Comme le signe de $x$ et $y$ sont différents, on a ($x=2$ ET $y=-1$) OU ($x=-2$ ET $y=1$).

Les racines carrées de $3-4i$ sont donc $z=2-i \mbox{ et }z=-2+i$.

Vérification : $(2-i)^2 = 4 -4i +i^2 = 3-4i$.

Parcours méthodologique : Racines n-èmes d'un nombre complexe

1) Définition :

Soit $z$ un complexe non nul. Soit $n$ un entier naturel non nul. Une racine $n$-ème de $z$ est un nombre complexe $u$ tel que $u^n=z$. 

2) Théorème :

Le nombre complexe $u$ admet exactement $n$ racines $n$-èmes complexes.

Elles s'écrivent : $\displaystyle e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ avec $k=0,\ldots,n-1$.

3) Méthode pour déterminer toutes les racines $n$-èmes complexes de $z$. 

  • 1ère étape : on écrit $z$ sous forme exponentielle $z = \mathrm R e^{i\varphi}$.
  • 2ème étape : on cherche une racine $n$-ème particulière de $z$ à l'aide de la formule 
    $\displaystyle u_0= \mathrm R^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i\varphi}{n}}$.
  • 3ème étape : on obtient toutes les racines $n$-èmes de $z$ en multipliant la racine particulière $u_0$ par les $n$ racines $n$-èmes de l'unité $\displaystyle \omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ soit $u_ k = u_0 \omega_k$ avec $k=0,\ldots,n-1$. 

4) Exemple :

Calculons les racines cubiques de $z=1+i$.

  • 1ère étape : on a $\displaystyle z=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$. 
  • 2ème étape : on cherche une racine cubique $u_0$ particulière. 

On prend $\displaystyle u_0 =\left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$. 

  • 3ème étape :

Pour obtenir toutes les racines cubiques de $z$, on multiplie $u_0$ par les racines cubiques de l'unité: $1,~j,~j^2$. On obtient alors :

$\displaystyle 1\times u_0=u_0= 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$.

$\displaystyle j\times u_0 = e^{\frac{2i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{3i\pi}{4}}$.

$j^2\times u_0 = e^{\frac{4i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{17i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}e^{-\frac{7i\pi}{12}}$.

5) Remarque :

Lorsqu'on relie les points d'affixe les racines $n$-èmes, on doit obtenir un polygone régulier (c'est-à-dire tous les côtés ont la même longueur) inscrit dans le cercle de centre l'origine et de rayon $\displaystyle \mathrm R^{\frac{1}{n}}$.

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