1) Savoir factoriser un polynôme
Théorème à connaître :
- Dans C : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré 1.
- Dans R : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré 1 et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant <0.
Exemple : X3−1=(X−1)(X2+X+1) est la factorisation dans R[X]. Le trinôme X2+X+1 n'est pas plus factorisable dans R[X].
- Dans C[X], on peut aller plus loin X2+X+1=(X−j)(X−¯j) avec j=e2iπ3 (racine cubique de l'unité).
Donc X3−1=(X−1)(X−j)(X−¯j) (produit de facteurs de degré 1).
2) Méthode
Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré ou xn−1=0 dans C).
a) La méthode consiste à chercher une racine évidente a puis à factoriser le polynôme P par X−a à l'aide de la division euclidienne.
Exemple : P(X)=X3−1 a une racine évidente qui est 1. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)=(X−1)Q(X).
On détermine le polynôme Q par division euclidienne :
Ensuite, on cherche une racine évidente b de Q donc Q(X)=(X−b)S(X) et donc P(X)=(X−a)(X−b)S(X). Puis on cherche une racine évidente de S etc...
b) Penser aux identités remarquables.
Exemple :
X4−1=(X2)2−1 =(X2−1)(X2+1) =(X−1)(X+1)(X2+1) dans R[X].
Dans C[X], X2+1 est une identité remarquable car X2+1=X2−i2=(X−i)(X+i) donc X4−1=(X−1)(X+1)(X−i)(X+i) .
Autre exemple : X4+1 se factorise dans R[X] d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré 2 car il n'a pas de racine dans R.
On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable.
X4+1=(X2)2+1 =(X2+1)2−2X2 =(X2+1)2−(√2X)2 =(X2+1−√2X)(X2+1+√2X). On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans R[X].
c) Pour factoriser un polynôme de R[X], on peut le factoriser dans C[X] puis rassembler les facteurs conjugués. En effet, un théorème affirme que si a∈C est une racine de P∈R[X] alors ¯a est aussi une racine de P. On va donc rassembler les facteurs (X−a)(X−¯a) en utilisant la formule : (X−a)(X−¯a)=X2−2Re(a)X+|a|2.
Exemple : Factorisons le polynôme X4+1 d'abord dans C[X]. Il faut donc chercher les racines de ce polynôme c'est-à-dire résoudre l'équation z4=−1. Cela revient à chercher les racines 4-ème de −1.
On a −1=eiπ. Une racine 4-ème possible est donc z0=eiπ/4. On obtient les autres en multipliant z0 par les racines 4-ème de l'unité : 1, i=eiπ/2, −1=eiπ et −i=e−iπ2.
On trouve z1=z0×eiπ/2=e3iπ/4, z2=z0×eiπ=e5iπ/4=e−3iπ/4 =¯z1 et z3=z0×e−iπ/2=e−iπ/4 =¯z0.
La factorisation dans C[X] est X4+1 =(X−z0)(X−z1)(X−z2)(X−z3) =(X−z0)(X−¯z0)(X−z1)(X−¯z1).
Or (X−z0)(X−¯z0) =X2−2Re(z0)X+|z0|2 =X2−√2X+1 et (X−z1)(X−¯z1) =X2−2Re(z1)X+|z1|2=X2+√2X+1.
Donc la décomposition de X4+1 dans R[X] est X4+1 =(X2−√2X+1)(X2+√2X+1).
3) Racines multiples
Définition : Soit P∈K[X]. Soit a∈K. Soit k∈N∗.
- On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (X−a)k divise P c'est-à-dire P(X)=(X−a)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
- On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (X−a)k divise P et si (X−a)k+1 ne divise pas P.
Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(X−a)kQ(X) et Q(a)≠0. - On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.
Exemple :
Soit P(X)=3(X2+1)2(X−2). P est un polynôme réel ou complexe.
- Dans K=R : 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.
- Dans K=C : i et −i sont des racines d'ordre 2 ou doubles. 2 est une racine simple.
Théorème : caractérisation des racines multiples
Soit a∈K. Soit k∈N∗.
- a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0.
- a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0 et P(k)(a)≠0.
4) Relations entre les coefficients d'un polynôme et ses coefficients.
Définition : on dit qu'un polynôme de K[X] est scindé sur K si toutes ses racines sont dans K cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans K[X].
D'après un théorème tout polynôme de C[X] est scindé dans C. Mais par exemple X2+1 n'est pas scindé dans R.
Soit P=a0+a1X+…+anXn un polynôme de vK[X] de degré n donc an≠0.
On suppose que P est scindé sur K donc le polynôme P peut s'écrire P(X) =an(X−x1)(X−x2)…(X−xn) où x1,…,xn sont les racines de P (pas forcément distinctes).
On définit σ1=x1+…+xn= la somme des racines de P et σn=x1…xn le produit ses racines de P.
Formule à connaître : σ1=−an−1an et σn=(−1)na0an autrement dit on a σ1=−coeffficient devant Xdeg(P)−1cd(P) avec cd(P) le coefficient dominant de P.
Et σn=(−1)deg(P)coeffficient constant cd(P).
Cas particulier n=3.
Soit P(X)=a0+a1X+a2X2+a3X3 un polynôme de degré 3 donc a3≠0 que l'on suppose scindé donc il s'écrit aussi P(X) =a3(X−x1)(X−x2)(X−x3).
(Ne pas oublier le facteur a3, c'est le coefficient dominant de P).
En développant P(X) =a3(X−x1)(X−x2)(X−x3), on retrouve les relations entre les coefficients et les racines d'un polynômes. A savoir :
x1+x2+x3=−a2a3, x1x2+x1x3+x2x3=a1a3 et x1x2x3=−a0a3 (formules à savoir retrouver).