1) Savoir factoriser un polynôme

Théorème à connaître : 

  • Dans C : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré 1
  • Dans R : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré 1 et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant <0

Exemple : X31=(X1)(X2+X+1) est la factorisation dans R[X]. Le trinôme X2+X+1 n'est pas plus factorisable dans R[X].

  • Dans C[X], on peut aller plus loin X2+X+1=(Xj)(X¯j) avec j=e2iπ3 (racine cubique de l'unité). 

Donc X31=(X1)(Xj)(X¯j) (produit de facteurs de degré 1).

2) Méthode

Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré ou xn1=0 dans C).

a) La méthode consiste à chercher une racine évidente a puis à factoriser le polynôme P par Xa à l'aide de la division euclidienne. 

Exemple : P(X)=X31 a une racine évidente qui est 1. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme Q tel que P(X)=(X1)Q(X)

On détermine le polynôme Q par division euclidienne :

Ensuite, on cherche une racine évidente b de Q donc Q(X)=(Xb)S(X) et donc P(X)=(Xa)(Xb)S(X). Puis on cherche une racine évidente de S etc...

b) Penser aux identités remarquables. 

Exemple

X41=(X2)21 =(X21)(X2+1) =(X1)(X+1)(X2+1) dans R[X].

Dans C[X], X2+1 est une identité remarquable car X2+1=X2i2=(Xi)(X+i) donc X41=(X1)(X+1)(Xi)(X+i) .

Autre exemple : X4+1 se factorise dans R[X] d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré 2 car il n'a pas de racine dans R

On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable. 

X4+1=(X2)2+1 =(X2+1)22X2 =(X2+1)2(2X)2 =(X2+12X)(X2+1+2X). On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans R[X].

c) Pour factoriser un polynôme de R[X], on peut le factoriser dans C[X] puis rassembler les facteurs conjugués. En effet, un théorème affirme que si aC est une racine de PR[X] alors ¯a est aussi une racine de P. On va donc rassembler les facteurs (Xa)(X¯a) en utilisant la formule : (Xa)(X¯a)=X22Re(a)X+|a|2.

Exemple : Factorisons le polynôme X4+1 d'abord dans C[X]. Il faut donc chercher les racines de ce polynôme c'est-à-dire résoudre l'équation z4=1. Cela revient à chercher les racines 4-ème de 1

On a 1=eiπ. Une racine 4-ème possible est donc z0=eiπ/4. On obtient les autres en multipliant z0 par les racines 4-ème de l'unité : 1, i=eiπ/2, 1=eiπ et i=eiπ2

On trouve z1=z0×eiπ/2=e3iπ/4, z2=z0×eiπ=e5iπ/4=e3iπ/4 =¯z1 et z3=z0×eiπ/2=eiπ/4 =¯z0.

La factorisation dans C[X] est X4+1 =(Xz0)(Xz1)(Xz2)(Xz3) =(Xz0)(X¯z0)(Xz1)(X¯z1).

Or (Xz0)(X¯z0) =X22Re(z0)X+|z0|2 =X22X+1 et (Xz1)(X¯z1) =X22Re(z1)X+|z1|2=X2+2X+1.

Donc la décomposition de X4+1 dans R[X] est X4+1 =(X22X+1)(X2+2X+1).

3) Racines multiples 

Définition : Soit PK[X]. Soit aK. Soit kN.

  • On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (Xa)k divise P c'est-à-dire P(X)=(Xa)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
  • On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (Xa)k divise P et si (Xa)k+1 ne divise pas P.
    Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(Xa)kQ(X) et Q(a)0
  • On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.

Exemple :

Soit P(X)=3(X2+1)2(X2). P est un polynôme réel ou complexe.

  • Dans K=R : 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.
  • Dans K=C : i et i sont des racines d'ordre 2 ou doubles. 2 est une racine simple.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit aK. Soit kN.

  • a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0.
  • a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0 et P(k)(a)0.

4) Relations entre les coefficients d'un polynôme et ses coefficients.

Définition : on dit qu'un polynôme de K[X] est scindé sur K si toutes ses racines sont dans K cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans K[X]

D'après un théorème tout polynôme de C[X] est scindé dans C. Mais par exemple X2+1 n'est pas scindé dans R.

Soit P=a0+a1X++anXn un polynôme de vK[X] de degré n donc an0.

On suppose que P est scindé sur K donc le polynôme P peut s'écrire P(X) =an(Xx1)(Xx2)(Xxn)x1,,xn sont les racines de P (pas forcément distinctes). 

On définit σ1=x1++xn= la somme des racines de P et σn=x1xn le produit ses racines de P

Formule à connaître : σ1=an1an et σn=(1)na0an autrement dit on a σ1=coeffficient devant Xdeg(P)1cd(P) avec cd(P) le coefficient dominant de P.

Et σn=(1)deg(P)coeffficient constant cd(P).

Cas particulier n=3.

Soit P(X)=a0+a1X+a2X2+a3X3 un polynôme de degré 3 donc a30 que l'on suppose scindé donc il s'écrit aussi P(X) =a3(Xx1)(Xx2)(Xx3).
(Ne pas oublier le facteur a3, c'est le coefficient dominant de P).

En développant P(X) =a3(Xx1)(Xx2)(Xx3), on retrouve les relations entre les coefficients et les racines d'un polynômes. A savoir :

x1+x2+x3=a2a3, x1x2+x1x3+x2x3=a1a3 et x1x2x3=a0a3 (formules à savoir retrouver).