Probabilité sur un univers fini

1) Coefficients binomiaux

$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$

Formule du triangle de Pascal :

$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$

2) Etudier des probabilités

Définition : On définit $P(A)$ la probabilité de l’événement $A\in\Omega$ par :
$P(A)=\frac{\mbox{nombre de cas favorables à l’événement}}{\mbox {nombre de cas possibles}}$

Propriétés élémentaires :

• $P(\emptyset)=0$
• $P(\Omega)=1$
• $0\leq P(A)\leq 1$
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ avec $\bar{A}$ événement contraire de $A$.
• $P(A)=1$ signifie que l’évènement est toujours réalisé (évènement certain).
• $P(A)=0$ signifie que l’évènement est impossible.
• $P(A\mbox{ ou }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles (ou exclusifs : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps), alors $A\cap B=\emptyset$ et $P(A\mbox{ et }B)=P(A\cap B)=0$. .

Définition : Soit $B$ événement de $\Omega$ tel que $P(B)>0$.

Pour tout $A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $A$ sachant $B$ (probabilité conditionnelle) est :
$P_B(A)=P(A|B)= \displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Théorème : Soient $A, B$ deux événements de $\Omega$.
$P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

Théorème : Formule de Bayes :

Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulle :

$P(A|B)=\displaystyle\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$

Définition : Deux événements $A, B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Remarque : 

• Si $P(B)>0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A|B)=P(A)$.
• Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.

Théorème : Si $A$ et $B$ sont indépendants :

• $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
• $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
• $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

Théorème : Formule des probabilités totales

Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :

$P(B)=P(A)\times P(B/A)+P(\bar{A})\times P(B/\bar{A})$.