Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable constitué d'un ensemble $\Omega$ (l'univers) et d'une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$.
Remarque :
$\mathcal{A}\in\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu si :
- $\Omega\in\mathcal{A}$
- Pour tout $\rm A\in\mathcal{A}$, $\rm \bar{A}\in\mathcal{A}$.
- Pour toute suite $(\mathrm A_n)_n \in\mathcal{A}^{\mathbb N}$, $\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+\infty}\mathrm A_n\in\mathcal{A}$
Les éléments de la tribu sont des événements de $\Omega$.
Méthode 1 : Étudier une probabilité
Définition :
$P$ est une probabilité sur l'espace probabilisable $(\Omega, \mathcal{A})$ si :
- $\rm P$ est une application : $\rm P:\mathcal{A}\to [0 ~;1]$
- $\rm P(\Omega)=1$
- Pour toute suite $(\mathrm A_n)_n \in\mathcal{A}^{\mathbb N}$ d'événements deux à deux incompatibles, $\mathrm P(\bigcup_{n=0}^{+\infty}\mathrm A_n)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\mathrm P(\mathrm A_n)$
$(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ est appelé espace probabilisé.
Propriétés élémentaires :
- $\rm P(\emptyset)=0$
- $\rm P(\bar{A})=1-P(A)$ pour tout $\rm A\in\mathcal{A}$
- Si $(\mathrm A_n)_n$ est une suite d'événements, $\mathrm P(\bigcup_{n=0}^{+\infty}\mathrm A_n)\leq\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\mathrm P(\mathrm A_n)$ (inégalité de Boole)
- Si $(\mathrm A_n)_n$ est une suite croissante d'événements, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\mathrm P(\mathrm A_n)=\mathrm P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}\mathrm A_n\right)$
- Si $\rm (A_n)_n$ est une suite décroissante d'événements, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\mathrm P\left(\mathrm A_n\right)=\mathrm P\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty}\mathrm A_n\right)$
Théorème :
Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ un espace probabilisé. Soit $\rm A\in\mathcal{A}$.
- $\rm A$ est négligeable si $\rm P(A)=0$.
- Une réunion finie ou dénombrable d'événements négligeables est négligeable.
- $\rm A$ est presque sûr si $\rm P(A)=1$ (c'est-à-dire $\rm \bar{A}$ négligeable).
- Une intersection finie ou dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.
Théorème :
Si $\Omega$ est fini ou dénombrable et si $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$, une probabilité $\rm P$ sur $(\Omega, \mathcal{A})$ peut s'identifier par $\mathrm P(\{w\})=\mathrm p_w$ pour tout $w\in\Omega$ à une famille $(\mathrm p_w)_{w\in\Omega}$ de réels positifs sommable et de somme égale à $1$.
Méthode 2 : Étudier une probabilité conditionnelle
Définition :
Soit $\rm B$ événement de $\Omega$ tel que $\rm P(B)>0$.
Pour tout $\rm A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $\rm \underline A$ sachant $\rm \underline B$ est :
$\displaystyle \rm P_B(A)=P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Si $\rm P(B)=0$, $\rm P(A|B)=0$.
$\rm P_B$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$.
Théorème :
Soient $\rm A, B$ deux événements de $\Omega$.
$\rm P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$
Théorème :
Si $(\mathrm A_i)_{i\in \mathrm I}$ système complet d'événements de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$, pour tout événement $\rm B\in \Omega$ : $\mathrm{P(B)}=\displaystyle\sum_{i\in I}\mathrm P(\mathrm{B|A}_i)\mathrm P(\mathrm A_i)$
Remarque :
${\mathrm A_i}_{i\in \rm I}$ ($\rm I$ ensemble fini ou dénombrable) est un système complet d'événements si :
- Pour tous $i,~j\in \rm I$, $\rm i\neq j$, $\mathrm A_i\cap \mathrm A_j =\emptyset$
- $\displaystyle\bigcup_{i\in \mathrm I}\mathrm A_i=\Omega$
Théorème : Formule de Bayes
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements de probabilités non nulle :
$\displaystyle \rm P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$
Méthode 3 : Étudier l'indépendance d'événements
Définition :
Deux événements $\rm A, B$ de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ sont indépendants si $\rm P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Remarque :
Si $\rm P(B)>0$, $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants si $\rm P(A|B)=P(A)$.
Théorème :
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants :
- $\rm A$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.
- $\rm \bar{A}$ et $\rm B$ sont indépendants.
- $\rm \bar{A}$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.
Définition :
Soit $(\mathrm A_i)_{i\in \rm I}$ famille d'événements de $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.
Les $(\mathrm A_i)_{i\in \mathrm I}$ sont mutuellement indépendants si pour tout $\rm J$ finie $\rm \subset I$ :
$\displaystyle \mathrm P\Bigg(\bigcap_{j\in \mathrm J}\mathrm A_j\Bigg)=\prod_{j\in \mathrm J}\mathrm P(\mathrm A_j)$.
