1) Il y a deux théorèmes importants permettant de décider de la nature (c'est-à-dire de la convergence ou de la divergence) d'une suite
On utilise les abréviations suivantes :
CV = converge ou convergente ou convergence
DV = diverge ou divergente divergence
APCR = à partir d'un certain rang
a) Les théorème de l'encadrement :
- Si $v_n \le u_n \le w_n$ APCR et si $(v_n)$ et $(w_n)$ CV vers $l$ alors $(u_n)$ CV vers $l$
- Si $u_n \le w_n$ APCR et si $(w_n)$ DV vers $-\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$
- Si $v_n \le u_n$ APCR et si $(v_n)$ DV vers $+\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$
b) Le théorème de la limite monotone :
- Si $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ CV
- Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$
- Si $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ CV
- Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$
Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite en cas de CV.
2) Autre théorème à connaître : le théorème de passage à la limite qu'il ne faut pas confondre avec le théorème de l'encadrement
Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0$.
Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle \forall n \in {\Bbb N}^*$, $\displaystyle \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0$ n'est pas strictement positive !
3) Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel
- Si $q >1$ alors $(q^n)$ DV vers $+\infty$
- Si $q=1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc CV vers $1$
- Si $-1 < q < 1$ alors $="" (q^n)=""cv=""$ vers $="" 0 < ="" li="" > < q < 1 >$
- Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ DV sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$
4) Les suites extraites
Définition : Une suite extraite de la suite $(u_n)$ est une suite $(x_n) = (u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb N}$.
Les suites extraites sont utilisées pour montrer la DV d'une suite. On se base sur le théorème suivant :
- si $(u_n)$ CV vers $l$ alors toutes ses sous-suites CV vers $l$.
Exemple : $(u_n) = ((-1)^n)$ diverge car la sous-suite $(u_{2n}) = (1)$ CV vers $1$ et la sous-suite $(u_{2n+1}) = (-1)$ CV vers $-1$. Si $(u_n)$ convergeait alors les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ devraient converger vers la même limite ce qui n'est pas le cas.
Théorème : si la sous-suite paire $(u_{2n})$ et la sous-suite impaire $(u_{2n+1})$ converge vers la même limite alors la suite $(u_n)$ converge vers cette limite.
5) Suites adjacentes
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :
a) $(u_n)$ est croissante
b) $(v_n)$ est décroissante
c) $(v_n - u_n)$ converge vers $0$
6) Comparaison des suites de références
Définition : $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ et on note $u_n = {\rm o}(v_n)$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =0}$.
Définition : $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ et on note $u_n \sim v_n$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =1}$.
Equivalent de référence : si $(a_n)$ est suite qui CV vers $0$ alors $\ln(1+a_n) \sim a_n$, $\displaystyle \sin(a_n) \sim a_n$, $1- \cos(a_n) \sim \frac{a_n^2}{2}$, $e^{a_n} -1 \sim a_n$, $\tan(a_n) \sim a_n$, $(1+a_n)^{\alpha}-1 \sim \alpha a_n$.
Théorème : si $u_n = v_n + \alpha_n + \beta_n + \ldots + \gamma_n$ et si les suites $(\alpha_n)$, $(\beta_n)$, $\ldots$, $(\gamma_n)$ sont négligeables devant $v_n$ alors $u_n \sim v_n$.
Echelle de comparaison : les suites logarithmiques $(\ln^{\gamma})$ avec $\gamma>0$ sont négligeables devant les suites puissances $(n^{\alpha})$ avec $\alpha>0$. $n^{\alpha}$ est négligeable devant $n^{\beta}$ dès que $0< \alpha < \beta$.
Les suites puissances sont négligeables devant les suites géométriques $k^n$ avec $k>1$.
Et $(k')^n$ est négligeable devant $k^n$ si $1 < k' < k$. $< p ="" > < k' < k. < >$
Les suites géométriques sont négligeables devant $n!$ qui est elle-même négligeable devant $n^n$.
