1 ) Coefficients binomiaux
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$
Formule du triangle de Pascal :
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$
2) Etudier des variables aléatoires réelles
On considère l’espace $\Omega$ fini.
Variable aléatoire :
Une variable aléatoire est une application de $\Omega$ dans $\mathbb R$.
Fonction de répartition :
$F_X(x)=P(X\leq x)$
Espérance ou moyenne de $X$ : $E(X)=\displaystyle\sum_i x_iP(X=x_i)$
$E(aX+b)=aE(X)+b$
Si $E(X)=0$, $X$ est dite variable centrée.
Formule de transfert :
Si $f$ est une fonction à valeurs réelles, $E(f(X))=\displaystyle\sum_{i}f(x_i)P(X=x_i)$.
Variance de $X$ : $V(X)=E((X-E(X))^2)$.
Ecart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
Propriétés :
- $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
- $V(aX+b)=a^2V(X)$ pour tous $a,b\in \mathbb R$
- Si $V(X)=1$, $X$ est dite variable réduite.
3) Lois usuelles finies
Loi uniforme :
La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[|1 ;n|]$ si :
$P(X=k)=\frac{1}{n}$
$E(X)=\displaystyle\frac{n+1}{2}$
$V(X)=\displaystyle\frac{n^2-1}{12}$
Loi de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.
La variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :
$P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$
On note $X\sim \mathcal{B}(p)$.
$E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.
Loi binomiale :
On obtient une distribution binomiale lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres.
La variable aléatoire $X$, comptant le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0 ;1[$) si :
Pour tout $k\in [|0,n|]$, $P(X=k)=\left(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}$ $=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}.$
On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
$E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)=npq$.