1) Produit scalaire

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$.

Définition :

Un produit scalaire $\varphi$ sur $E$ est une application de $E\times E$ dans $\mathbb R$ vérifiant :

  • Pour tout $(x,y,z)\in\mathbb E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(\lambda x+y,z)=\lambda \varphi(x,z)+\varphi(y,z)$ ($\varphi$ est linéaire à gauche)
  • Pour tout $(x,y,z)\in\mathbb E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(x,\lambda y+z)= \lambda \varphi(x,y)+ \varphi(x,z)$ ($\varphi$ est linéaire à droite)
  • Pour tout $(x,y)\in\mathbb E^2$, $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ ($\varphi$ est symétrique)
  • Pour tout $x\in E$, $\varphi(x,x)\geq 0$ ($\varphi$ est positive)
  • Pour tout $x\in E$, $\varphi(x,x)= 0 \Rightarrow x=0_E$ ($\varphi$ est définie)

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : $\varphi=(\cdot|\cdot)$
Exemple : Produit scalaire canonique sur $\mathbb R^n$
Pour $x=(x_1,…,x_n)$ et $y=(y_1,…,y_n)$, $(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ky_k$

Définition :

Norme associée au produit scalaire $||\cdot||$ : pour tout $x\in E$, $||x||=(x|x)$

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout $(x,y)\in E^2$,
$|(x|y)|\leq ||x|| \times ||y||$

Il y a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Définition : soit $(x,y)\in E^2$, les vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x|y)=0$.

Théorème de Pythagore : soit $(x,y)\in E^2$ :

  • $||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2(x|y)$
  • $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $||x+y||^2=||x||^2+||y||^2$

Définition :

Soit $(x_i)_i$ une famille d’éléments de $E$.

  • $(x_i)_i$ est une famille orthogonale de $E$ si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
  • $(x_i)_i$ est une famille orthonormale ou orthonormée de $E$ si les éléments de la famille sont unitaires $(||x_i||=1)$ et deux à deux orthogonaux

Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

2) Espaces euclidiens

Définition :

Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb R$, muni d’un produit scalaire.
Soit $E$ un espace euclidien.

Définition :

  • Une base orthogonale de $E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
  • Une base orthonormale ou orthonormée de $E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.

Théorème :

Soit $(e_i)_{i=1…n}$ une base orthonormée de $E$ et soit $x\in E$.

  • $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|e_k)e_k$
  • $||x||^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|e_k)^2$

Théorème :

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
$\mathrm{F^{\bot}}=\{x\in \mathrm E/\mbox{pour tout } y \in \mathrm F, (y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\mathrm{F}$:

  • $\mathrm{F+F^{\bot}=E}$
  • $\mathrm{F\cap F^{\bot}=\{0_E\}}$ 
  • pour tout $(x, y)\in \mathrm F\times \mathrm F^{\bot}, (x|y)=0$