1) Produit scalaire
Soit E un espace vectoriel sur R.
Définition :
Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
- Pour tout (x,y)∈E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)≥0 (φ est positive)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)=0⇒x=0E (φ est définie)
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(⋅|⋅)
Exemple : Produit scalaire canonique sur Rn
Pour x=(x1,…,xn) et y=(y1,…,yn), (x|y)=n∑k=1xkyk
Définition :
Norme associée au produit scalaire ||⋅|| : pour tout x∈E, ||x||=(x|x)
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout (x,y)∈E2,
|(x|y)|≤||x||×||y||
Il y a égalité si et seulement si (x,y) est liée.
Définition : soit (x,y)∈E2, les vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y)=0.
Théorème de Pythagore : soit (x,y)∈E2 :
- ||x+y||2=||x||2+||y||2+2(x|y)
- x et y sont orthogonaux si et seulement si ||x+y||2=||x||2+||y||2
Définition :
Soit (xi)i une famille d’éléments de E.
- (xi)i est une famille orthogonale de E si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
- (xi)i est une famille orthonormale ou orthonormée de E si les éléments de la famille sont unitaires (||xi||=1) et deux à deux orthogonaux
Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.
2) Espaces euclidiens
Définition :
Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie sur R, muni d’un produit scalaire.
Soit E un espace euclidien.
Définition :
- Une base orthogonale de E est une famille orthogonale qui en est une base.
- Une base orthonormale ou orthonormée de E est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.
Théorème :
Soit (ei)i=1…n une base orthonormée de E et soit x∈E.
- x=n∑k=1(x|ek)ek
- ||x||2=n∑k=1(x|ek)2
Théorème :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
F⊥={x∈E/pour tout y∈F,(y|x)=0} est le supplémentaire orthogonal de F:
- F+F⊥=E
- F∩F⊥={0E}
- pour tout (x,y)∈F×F⊥,(x|y)=0