1) Produit scalaire

Soit E un espace vectoriel sur R.

Définition :

Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :

  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
  • Pour tout (x,y)E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
  • Pour tout xE, φ(x,x)0 (φ est positive)
  • Pour tout xE, φ(x,x)=0x=0E (φ est définie)

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(|)
Exemple : Produit scalaire canonique sur Rn
Pour x=(x1,,xn) et y=(y1,,yn), (x|y)=nk=1xkyk

Définition :

Norme associée au produit scalaire |||| : pour tout xE, ||x||=(x|x)

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout (x,y)E2,
|(x|y)|||x||×||y||

Il y a égalité si et seulement si (x,y) est liée.

Définition : soit (x,y)E2, les vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y)=0.

Théorème de Pythagore : soit (x,y)E2 :

  • ||x+y||2=||x||2+||y||2+2(x|y)
  • x et y sont orthogonaux si et seulement si ||x+y||2=||x||2+||y||2

Définition :

Soit (xi)i une famille d’éléments de E.

  • (xi)i est une famille orthogonale de E si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
  • (xi)i est une famille orthonormale ou orthonormée de E si les éléments de la famille sont unitaires (||xi||=1) et deux à deux orthogonaux

Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

2) Espaces euclidiens

Définition :

Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie sur R, muni d’un produit scalaire.
Soit E un espace euclidien.

Définition :

  • Une base orthogonale de E est une famille orthogonale qui en est une base.
  • Une base orthonormale ou orthonormée de E est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.

Théorème :

Soit (ei)i=1n une base orthonormée de E et soit xE.

  • x=nk=1(x|ek)ek
  • ||x||2=nk=1(x|ek)2

Théorème :

Soit F un sous-espace vectoriel de E.
F={xE/pour tout yF,(y|x)=0} est le supplémentaire orthogonal de F:

  • F+F=E
  • FF={0E} 
  • pour tout (x,y)F×F,(x|y)=0