Calculs matriciels

Méthode 1 : Calcul de la trace d’une matrice carrée

Définition :

Soit la matrice $\rm A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb K)$.

La trace vaut : $\rm tr(A)=a_{1,1}+…+a_{n,n}$.

• Produit de matrices :

Pour toute matrice $\rm A\in M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\rm B\in M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.

• Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont la même trace.

Remarque :

$\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\rm B\in M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $\rm n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.

Méthode 2 : Calcul du déterminant d’une matrice carrée $\bf{A =(a_{i,j}})$

• Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll}\rm a & \rm b\\ \rm c & \rm d\end{array}\right|= ad-bc$

• Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
• Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $\rm i$ : $\displaystyle\rm \det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$

Où $\rm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $\rm i^{ème}$ ligne et la $\rm j^{ème}$ colonne.

• Matrice triangulaire supérieure :
  Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.
• Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$
• Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B) \text{ et}\det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$
• Matrices semblables :
  Deux matrices semblables ont même déterminant.

Méthode 3 : Inverser une matrice

• Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

• Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.