Complément sur les séries numériques

1) Cas des séries à termes positifs :

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries à termes positifs telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq v_n$.

1. Si $\displaystyle\sum v_n$ converge, alors $\displaystyle\sum u_n$ converge.
2. Si $\displaystyle\sum u_n$ diverge, alors $\displaystyle\sum v_n$ diverge.

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ deux séries à termes positifs.
Si $\displaystyle u_\mathrm n \sim v_\mathrm n$, alors les séries $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ ont même nature.

2) Règle de d’Alembert :

Soit $\displaystyle \sum u_\rm n$ une série de termes non nuls.
On suppose que $\displaystyle \bigg|\frac{u_{\mathrm n+1}}{u_\rm n}\bigg|\to \rm I$ avec $\mathrm{I\in\mathbb R^+ \cup \{+\infty\}}$.
Si $\mathrm{I>1}$, $\displaystyle\sum u_\rm n$ diverge grossièrement.
Si $\mathrm{I=1}$, on ne peut rien conclure.
Si $\mathrm{I<1}$, $\displaystyle\sum u_\rm n$ converge absolument.

3) Séries de Riemann :

Théorème :

$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.